etc

dax

donc en négligeant le carré de la fraction i, il est clair que nous avons , , L 1 d.F{â)a . 1 d*.F(d)*

v=:a+F(a) + 0 -as— <-03 + etc.

tT(a) .

etc.

La première ligne de cette expression étant la valeur de v' qui aurait lieu dans le cas du mouvement elliptique , on doit en conclure que la seconde ligne constitue la perturbation de v’ , et que par conséquent 011 a l’équation

rf.CF(q).jy(q)] l d'lFW'.i*(a)-]

w da 1.2 da2 eiC*

Or il résulte de la série même de Lagrange , que l’équation p’= a+F(v') donne

3o2 théorie du mouvement de la lune

fiV(y)dv'=fl ,-y (a)da + iV(a).F(a) + ±d- etc.

Donc l’équation précédente revient à dire, que —J~(la.5v'=Jï'Y (u')fi?/; ou , en d’autres termes , que

Et comme on néglige le carré de la force perturbatrice , on peut ici substituer pour ~ la valeur fourni J par l’équation d = a + F(y')i et alors on obtient

Donc en faisant , pour plus de simplicité

0(v,v')=(ï — 2 e' cos d d •+■ s'1 cos id d -4- etc. ) ■ s in (y — d)

l’expression de n't sera celle-ci ;

rît = d — 2 e' sw c' d ■+• j e * sot 2C v' — i Z>1 $ (y, d ).

Cela posé, si Ton représente par nt=v -*zf(y) l’expression de la longitude moyenne de la Lune en fonction de sa longitude vraie , on aura , par l’élimination de t entre ces deux équations ;

mv+mf{d)=zd — 2 s’ sine d sinic d — ib*Q(y,d) $

ou bien ,

d = mv ■+■ mf (v) + 2î' sin cV — | tn sin 2 d d ■+■ 1 b% 0 (y, d).

Soit y' = r(y) la valeur de d en fonction explicite de v qu’on tirerait de cette équation, après y avoir fait i= o. La valeur de d qui satisfait à la même équation lorsqu’on tient compte du terme multiplié par i peut être représentée par T(y) + Vd. Donc, en changeant d en d + à'd on doit avoir

dV= tfd(2e,cosdd—^t1cos2cd) + ibiQ(y,d) + ib'Vdd-1-^~4- etc. d’où l’on tire , en négligeant les termes multipliés par i1 j