CHAPITRE TROISIÈME

ib'6{v,v[) d . F {v')

Donc, en substituant ici pour 6 sa valeur posée plus haut, il viendra Ÿ v' = V = z &a . — 5i/i ( v — t>' )

au > *

ce qui rend raison de la régie énoncée dans la page 282 , pour tenir compte de la perturbation de la longitude de la Terre due à l’action de la Lune.

L’analyse que je viens d’exposer fait voir a priori à quoi tient l’avantage de la considération indirecte, du mouvement du centre de gravité de la Terre et de la Lune dans la recherche des perturbations de la Terre dues à l’action de la Lune : c’est un artifice de calcul , par lequel on évite au lieu de surmonter l’obstacle. Newton avait senti cette moindre aberration du mouvement elliptique dans le mouvement du centre de gravité. Mais le peu de mots qu’on lit , à ce sujet , dans la Prop. 67. du I.er Livre des Principes ne me paroissent pas suffire pour en demeurer convaincu. Au reste , on doit , peut-être , à ce laconisme de Newton un intéressant Mémoire d’EuLER publié en 1750 dans le I.er vol. des Novi Com. de S. Petersbourg , ou ( Voyez p. 44 1 ) > il trouve , par l’intégration directe des équations différentielles en x’ , y , z' une expression de V équivalente à celle-ci ;

sin(nt-rit) i

ce qui donne , <V = ( 1 ■+- 1 m% ) • sin ( nt — n!t) , en développant

le coefficient, et substituant pour / sa valeur -4- | mlj. Si Euler avait tenu compte de la variation dans l’expression des coordonnées lunaires, il aurait obtenu |raa— au lieu de |ma , comme on le conclud aisément de la formule générale qne j’ai donnée plus haut ( p. 288 ). Or , ce résultat ne diffère pas sensiblement de celui qui est fourni par la considération indirecte du mouvement du centre de gravité 5 et il est assez singulier de voir , après cela , qu’EuLER

3o4 THÉORIE DU MOUVEMENT DE LA LUNE

infirmait par la phrase « Unde patet considerationem cenlri gravitatis « effectum Lunae nimis parvum exhibere » (Voyez p. 4^7) principe de Newton , tandis qu’une simple transformation de son résultat en offre une démonstration. (*)

Développement des fonctions des coordonnées elliptiques de la Lune jusqu'aux quantités du cinquième ordre.

243. Pour développer ces fonctions, il est nécessaire, avant tout, de nous occuper du développement de la fonction { \/i+s; e cos (cv —f zdv) j "m ;

m désignant un nombre entier quelconque. D’après la transformation de 1 +s(l déjà donnée dans le n.° 214 3 il est clair que si Ton fait pour plus de simplicité

/(i+rl)+ 1 * 1 9

^ = 2gv — 2 fOdv j D = 1 — 2 x . cos 9 -+• x% , l’on a

j i/r cos (cv —f sr dv) =am { [/D-haecos (cv—fvdv)

Donc, en développant le second membre de cette équation par la formule ordinaire du binôme, et écrivant simplement cv au lieu de cv—fxdv , il viendra

ani D 2 -Mm+' D

m (ni -f- 1 )(m-»-a) m + 3

s*-*-ecoscv ] m = ecoscy-»-- a D

e cos cv>

e cos ci>-t-etc.

Or l’on a , en général ,

D-n=Jo+2Jlxncos<?+îAxx'T^f2rCOS 2? -t- x3 n (n ^ - cos 3<p-+-etc.

'x*4-etc.

(Voyez tome II, page 276 des Exercices de calcul intégral par M. Legendre ). Ainsi l’on pourra développer sans difficulté chacun des termes de la série précédente.

244* Bornons nous à calculer ce développement , en négligeant les quantités qui passent le cinquième ordre par rapport aux puissances et les produits des deux constantes e et 7. Pour cela il suffit de prendre

D Voyez la fin du § 4 du S.*™* volume.