CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE

Ainsi , il est nécessaire de passer à l’approximation suivante , pour avoir dans tint le premier terme du coefficient de l’argument go— fo. Cette approximation devant fournir tous les termes du premier ordre de ànt qui sont multipliés par A' , il faut avoir en du et m'/Ri do : i.° tous les termes du second ordre qui perdent un ordre par l’intégration $ 2*° tous les termes du troisième ordre , qui , par la même opération, en perdent dèux. C’est vers ce but que nous allons diriger nos calculs.

7. Commençons par chercher tous les termes du second ordre, qui doivent entrer dans l’expression de h. Réduisons la fonction sR?t , posée dans le n.° 2 à ;

s/?3= A’ q ^1 — | .55^. zu.sinfo.

En y faisant 5 <7 = 1 3 51 = £.— ^cos 2go ;

= 1 *+■ -+- î- 71 e cos co — ~ 7* cos 2 go ,

q .311 = 1-4-2 ea-+-^7l-He cos co — « 71 cos 2 go , il suffit , pour l’objet; actuel , de prendre

q a u . sinjo = ( 1 -+- 2 e% -4- 1 71 ) sinfo -4- - 7* sin 2go —fv •

— *7 • 2 ' sinfo = — j 7’ «>»/v — g- 7* sw 2g-v -/> ;

et par conséquent

5/?3 = ^ ^ 1 2 e* — ^ 71 ^sinjv — | ^ 71 5m 2gv — ; fo,

La valeur de Rt trouvée dans le n.° 5 peut être réduite à

R‘= TT ! sin sv —fi -+- sin gv+fi S •

Donc, en multipliant cette valeur par (-^ = ycosgv , on a

=—\A'i sin 2sv —fi-

Maintenant , si Ton fait le produit du terme

JR,dv=z g.A'y.m .cosgv—fv par — 2 P singvzs — 2 m'ysingv ,

2 Pi sin gv.J"ül dv=. — A' 71 . { sin fv •+• sin 2 gv —fv j .

Donc , en réunissant ces termes , il viendra j

[1] . . s i?3 — R'--*- 2 P singv .J^Rxdv= A' ( n- 2 e‘— | y*^sin/v

— 2 A' 71 sin 2 gv — fv.

8. Il faut maintenant chercher les termes produits par l'effet de la réaction. Et pour cela , nous devons , avant tout , calculer le second terme du coefficient de l'argument 2 Ev—fv , n'ayant donné que le premier dans le n.° 4- En faisant :

/?,= ^sin2Ev \ R3=^cos2Ev-,

ts=-4\\ + \m)sinfv ; — A' + \ m^cosfv

on obtient ;

—R'% V= jf(k+ïëm)sin2£v~fi’

R 3 os = A' (^■jr^rn^ siniEv — fv.

Donc , en considérant ce seul argument , on a l'équation

*+"|'7ll)°s== ^ 1 m^siniEv— fv ,

CHAPITRE COMPLÉMENTAIRE, qui étant intégrée donne , après avoir développé le

( /n -4- m* ) sin lEv—fv.

coefficient ;

9. Le produit des deux fonctions /?3 = — 3 m2-*-^cos iEvy ds = —A' (^+^m^sinfv~^m{i+m)sin2.Ev-fv

[2]...i2jfo= A \Qâm+-^m'}sinfv+-(Tî-*-^m')sin2Ev—fv-\isin2Ev+fv\i et celui de

Æ, = |wî2£Vpar -^= A' {lA+\my os A' ro— i m‘)cos 2 Ev -Jv , donne

[3]...—/?, -j—z=zA \ ïEv —fv +\^sinïEv

En multipliant

-f R, delcos 2EV par + a h = -A’m'sin 2Ev-fV) on obtient;

[4] - - 2 + / R>=f A'm'sinfv.

Maintenant , si Ton prend

K — £ = ^ c ■+■ \ £,‘ — ^ e cos cv ■+■ y e* cos îcp + 1 7* cos 2 gv — 6 . §11 ;

ir ic<>s§’u-H/v>-.ccsg-u— /o} ; ds = — ^A'sinfv •

on aura

— 6.sl.èu= A'f j 2 .sinjv-î-sinigv— J $

ds e2 cos 2cv + 1 f cos 2 gv) = A' ( ^ sin 2 gv —fv -+-|e* sw 2cw — 5

et par conséquent

j ( 2 7* — 2 | ) «n/fr ■+■ 1 7* sin 2gv —fv ■+■ 1 e' sin 2 cv — fv j .

En réunissant les termes compris dans la fonction

d' .ls / ,3 A,

sinfv A m'+(w+è=l)"t3-1-(îg-^+ï=T)"l,-|«’*'*J

|-t-(2-|=I)w‘/+(2 2=0^mV |

sin 2 gv—fv Af |- s .+. 1 = * J m> sin 2cv—fv Ae(^ \nï^

simEv—fv A’\ (î+ï = »)»*+(â+â=j)»,}:

En intégrant cette équation, et rejetant toutes les quantités qui passent le second ordre , il viendra

6s = sinfv A'{— üm*+£'*|7*+0e>^

sin 2gv —fv A’i ) sin 2 cv —fv A't ^ ) siniEv —fv A'(-jm—\m'y