CHAPITRE COMPLEMENTAIRE. 0 ()D
on a le terme AB — — m* ycos gv —Jv. Donc en réunissant les termes précédens on aura
— K== — (A — B-t-AB*) =
cosgv—fv ^7j0 .m -t-O./ra-H-j-TO + ^îê-t-nsâ- ÏÏ52 - Î6/m ( >
d’où l’on tire en intégrant ;
Ai -rm—jâ m )
Snt= — — — - - v singv—fv ;
ou bien, en faisant (g — i) =
5nt= ^'jy-t-(^-| = y)'«S7S'"g‘’->-
Tel est le résultat ( annoncé dans la page 189 ) qu’il s’agissait de trouver- On voit par cette analyse qu’il exige , comme auxiliaires , la considération des termes affectés des argumens 2 ZsV-Hgv — fv , 2Lv gv-H/è ÿ et que les coefficiens qui les multiplient, dans du et dnt y sont précisément ceux employés par anticipation dans la page i56.
17. L’expression précédente de dnt devient en y remplaçant A' par sa valeur (Voyez p. 363, 365), et faisant — =1 , a = mx •
( T )’ (■ KV - * ) ( ¥ “ £ m ) sin ° cos “
5nt - — — * - • 7 Sl" 8V —/*•
Ainsi , il n’est pas vrai , que le second terme du facteur soit nid y comme on serait tenté de le croire , d’après la conclusion que Laplace tire de son analyse exposée dans le Vol. de la Con* des Teins pour l’année 1824 (Voyez p. 3o4 ). Il est vrai que, depuis, il a Lui-même changé d’avis sur ce point: car, conformément
au résultat qu'il a publié dans le Livre XVI de sa Mécanique Céleste (Voyez p. 400 du 5.lème Volume), on devrait avoir ,
au lieu de y — |/7Z = y“+"(|"+"i^:“" ^ ) m , comme nous venons de le trouver. De sorte que , Laplace , ne trouve pas , par son analyse, les deux parties = — | 5 dont le calcul est assez
compliqué ainsi qu'on vient de le voir.
Pour confirmer, à l'aide des calculs précédens , ce que j’ai déjà dit sur ce point dans les pages 157 et 188 remarquons d’abord que, d après nos dénominations la lettre k' de Laplace ( Voyez p. 397
du 6.,, ne Vol. de la Mécanique Céleste ) est égale à — yp-- Ainsi , la valeur de R qu'il pose dans la page 3g5 revient à celle-ci •
7? = -fr‘ ! 1 — 3s*-h3 (ï -s')cos( .
et comme = ? [\ est cjair qU’on a .
(Zz) .... Zi = — I 2 S1 + 3 COS (2V — 2V>') J cosgv— fv.
Maintenant, si l’on change dans cette expression; u en et
s en , on aura, après avoir fait 2^ — 21/ = 2t> — 2mv=: ïEv ;
R-bïR= y^w(i-h3co5 2^)-h~ + ;
où les deux premiers termes répondent à la quantité que Laplace représente par d.r'Q'. Or nous avons
T°"= — (~3~8 m)tC0S$>-f> . . Voyez p. 38a ) >
\nïZu.1COS*Ev= \m'A’(\+\ = \}1COSgV--fs,. . . . ( Voye. p. 390 ) î
1 m^ycosgv— fv .... ( Voyez p. 3?8 >
Donc , il est manifeste, que la réunion de ces parties donne tion identique
l’équa-
icosgv- fv=o,
immédiatement employée par Laplace pour former sa valeur de 2^./’(^). Mais cela ne prouve pas qu'on doive avoir aussi l’équation J' d' Rz=. 05 cl R indiquant la différentielle de la fonction R prise
par rapport aux coordonnées de la Lune seulement. Car l’équation précédente désignée par (Z) fait voir, que dR étant la différentielle complète de R , on a 5
d'R= dR+ ”<r-!>1,'> .
et par conséquent
fd'R= R+l m'fdd .
Or , il faut bien remarquer , que pour tirer de là le terme en question on doit changer , à la fois ; u en , -hJu; s en s, + Ss ; et d en mv-hmSnl. Le changement de u' en mv + mSnt ne donnerait que des termes multipliés par m 4 dans l’expression de R + àR- et voilà pourquoi nous ne l’avons point considéré en formant l’expression précédente de = o. Mais il devient indispensable, lorsqu’on
veut obtenir la valeur de l’intégrale
Ç d R — ^ nCj'mdv j — 2 + 3 (dw)* J s in 2 Ev
.-^-sin2jEv — -m j mdv. 2 mont. cos 2 Ev ,
en tenant compte de la totalité des termes qui demeurent multipliés
par Àf rrù 7 cos gv —fv , après l’intégration. Alors cette valeur de fd R donne, comme dans la page 1 56 ; ^
fdR-\m'Afmdv\(\-\+\-\=oy+(^-^+l±-^=l^m'\ysing*-fi
c’est-à- dire ;
18. Le Mémoire sur les inégalités Lunaires dues à l’aplatissement de la Terre , que Laplace a publié dans le Vol. de la Con.e des Tems pour Vannée 1823 (Voyez pages 219-225 ) ayant un rapport plus direct avec la méthode exposée dans ce paragraphe , je vais entrer, à ce sujet, dans quelques détails. On verra, par des rapprochemens convenables , quelles sont les inexactitudes échappées à Laplace , et on jugera par-là combien elles sont difficiles à découvrir dans une théorie aussi compliquée dans ses effets qu’elle est simple dans sa cause.
Nous supposons que Ton a sous les yeux le Mémoire qu’on vient de citer, ainsi que la théorie de la Lune de Laplace. En admettant exact , pour un moment , le rapprochement des deux argumens
— par lequel Laplace parvient à trouver, d’un coup, le
coefficient de ce dernier dans l’expression de la tangente de la latitude de la Lune , il ne suffit pas , de changer g en f dans le coefficient du terme multiplié par ysingv — 0 , que l’on voit dans l’équation (L") de la page 222 du Tome 3. de la Mécanique Céleste: il faut, en outre , modifier , conformément à ce changement , la valeur du coefficient B^0) , donnée par l’équation qui se trouve au commencement de la page 225. En effet 5 réduisons cette équation à celle-ci j
o = | 1 — (2 — 2 m — g)' f B;o) — | ni 1 j 1 +£ — 2 Bjo) J •
ce qui est suffisant pour la discussion du terme multiplié par ni- En y faisant — | /rc’(i — \ ni : et 2— 2 m — g= 1 — • hm — >
on aura
