CHAPITRE COM PLEM ENTA I R E

~. —Àsi7i6sin2v.dt =

sin 5 sm 20 . do j 1 -H A z'b\ cos Ev -+ -cW j * j i-t- K' e'Z»1 .cos E\>+- dnw j , ce qui introduit dans cette fonction le terme séculaire | sin 0 . sin 2vdt=do .^-^-3sinO. 6V* ( K' -+• AA' ) sm ( 20 — 2E0 — 2c’mv ). Par la meme raison on a

- ~ sin 2O . cos 2 0 dt =— do . ^ -—sin 2 0. Z>V* (K'+KK!) cos (20 - 2ZÎV - 2 cW).

Maintenant , si l’on remplace do par ndt , et si l’on observe , que l’argument 20 — 2 AV — 2cW revient au double du périgée solaire, c’est-à-dire à 2* , nous aurons

| . ~ sin 0 . sin 20 . oÙ= | .^sinO .bs ( A*-+- IiK' ) . s'1 sin 2 x' . dt ;

— | — 3 tt» 2$.cos 2V.dt = — ^ ^ sm 25 .b* ( AM- AA' ) . e'* cos 2x' . dt.

Donc, conformément aux formules posées dans la p. 3i2 du second Volume de la Mécanique Céleste, on doit avoir dans l’expression de 0 le terme

et dans l’expression de MT le terme

(2) . . y = ~cos0.b'(Kx+KK') fdt.t'cos 2/.

Mais, le principal terme de la nutation est tel qu on a

A désignant la longitude du noeud ascendant de la Lune j c'est-àdire (suivant nos dénominations) l’angle où j’écris n

au lieu de n pour distinguer celte valeur de n de celle qui multiplie

C , employée par Laplace pour désigner le mouvement diurne de la terre. Ainsi cela revient à dire, que

/A + B-iC\ 3 \ 2 nC / 2 '

L y .cos 6

Ha* {i- g)

. cos A.

Donc en nommant N ce coefficient de cos A, les formules (i) et (2) posées plus haut se changeront en celles-ci ;

(0 • . .tang.9.b'{K?+KK)fdt.?sinvl ;

(2) . .v=\Nrï^^.b\K'+KK)fdt.?cos2Ti.

Et comme si l’on prend ici l’année julienne pour unité de

temps on pourra laisser dt au lieu de ridt 3 ce qui donne

(1) . . G = ~]V. LilZil . tang. 0 . ( Tv1-*- KK! ) J" dt . e'1 sin 2x’ 3

(2) . . V=\N.{~£)V(K'+KK) fdt.fcos 2x'.

Nous avons K=^ — y/re etc., K’= — ^-Hy/re etc. (Voyez page 85 1

du troisième Volume, et page 494 de celui-ci)3 et les autres facteurs sont assez petits pour rendre ces termes tout-à-fait insensibles, si l’on observe que ^ b 4 - ) . = 0,0000028. Mais, en théorie, il est permis

de considérer de telles quantités pour faire cesser les doutes par des argumens incontestables. C’est ainsi, par exemple, qu’on fait cesser les doutes qu’on pourrait éléver sur les variations du jour moyen > en démontrant que ces variations accumulées pendant des millions d’années ne peuvent produire qu’un petit nombre de minutes ( Voyez page 325 du second Volume de la Mécanique Céleste).

72. Cette analyse donne aisément le terme affecté du double de 1* longitude du noeud de la Lune qui entre dans l’expression de la ntt' tation et de la précession. En effet 3 d’après les formules posées dans les p. 3 1 3 et 317 du second Volume delà Mécanique Céleste , on a

7Sl

3£XYsinQ.dt=dt.\j-isin6\sm'iv-*-'ÇsmïK J ,

— ( Y — Z*) sin 2 0 . dt = - dt . | £ sin i0 j cos 2 p + % cos 2 A j .

Actuellement, si Ton prend r, = a , et

ndt = dv j i 4-y cos( 2^— 2A) [ ,

d viendra , en conservant seulement les termes affectés de l’argument 2 A ;

^ XYsinO.dt = t.^fsinS{\ + \)sin2 A ;

^ ( F* - Z* ) i w 26 . Æ = - ^ / «n 2 ® ( j -I- 1 ) cos 2 A.

Maintenant , il suffit de comparer ces deux termes avec ceux multipliés par sin A et cos A pour en tirer la conséquence , que les deux inégalités dépendantes dè cos A et cos 2A qui entrent dans

l’expression de 0 sont dans le rapport de l’unité à — |y .tang.6-7 et que les deux inégalités correspondantes de la précession sont dans le rapport de l’unité à— \^tang. 20. Cela posé il devient facile de voir, que , Laplace , dans la page 269 du 5.irae Volume de la Mécanique Céleste, obtient le coefficient — ^ au lieu de g, parceque il n’a pas eu égard dans la formation des produits A Y .dt, (I —Z^dt, au terme de l’expression de dt affecté de l’argument 2^ — 2 A.

Il y a dans l’expression de 0 et ¥ un terme du même ordre que le précédent qui dépend du double de la longitude du périgée Lunaire. Pour en voir l’origine , réduisons à

— .XYsinO.dt ==l fiSiTiQ.sm2V.dt ,

IL ( r- Z') sin iYdt = - %~\sin 20 . cos 20. dt,

sr,5 ' ' ’ «

les équations posées plus haut 5 et remarquons que l’astre L étant la Lune, on peut y faire •

i = -i(i-hecoso>)3= ■+■ 3e coscv -h |e* cos âcv) ;

ndt=.dv j 1 — 2eco5C0 4-|e*C05 2à>[ ; ce qui donne

^ ( r - Z‘)«7t 20. <*=-§. -| c^p-0 dv.cos{w- 2CV) ; et par conséquent

(A+-B — 2C\ 9 e'Lsinô cos(iv — 9,c<' )

^ \ inC / 4 ‘Tla3 * 2(1— c) *

^ / A + B — îC\ 9 e'LsiniQ sin(iv — icv)

\ 2 nC / * 8 ~n a*sin 0 2(1*— c) ’

ou bien

®= )i*ng.0.coi(w—icv)-,

¥= — iV-Irr^T^f) .iw( 20 — 2a>).

Ces coefîlciens peuvent être regardés comme insensibles ; car nous avons fEf=-^gsi 5 2V=8V,92 5 ; d’où l’on tire

Log’( tEt) =9)6775422 ; Zog.|y = 8, 3988493 ;

6 = — o",o4o.C0S(2t> — 20>) j 'Ezso’^IOI .5/71 (2V> — 2Cv).

Pour compléter l’analyse de ces petits termes, je ferai remarquer? que les équations

— XY.sinû.dt = dt.^^Çsin0.sin 2A ,

ri * r*

Yx — Zl)siri29.dt=: — dt.^^Çsin zO.cos 2A,

donnent ,