CHAPITRE SECOND

Ces formules deviennent beaucoup plus simples en négligeant tous les termes périodiques multipliés par 7'% lesquels ne peuvent produire que des inégalités d'une extrême petitesse dans la théorie de la Lune; ^ais il importe de conserver dans cette même théorie ceux qui ne s°nt pas affectés de sinus ou de cosinus ; car on verra par la suite que ces termes peuvent augmenter par l’intégration , et donner naissance à des équations séculaires de la même espèce que celles provenantes de la variabilité de l'excentricité e.

Variation différentielle des six constantes arbitraires h\ 7, 0, e , v , f de t orbite de la Lune.

56. La solution des trois équations différentielles que nous avons exposée dans le § 1 de ce chapitre , se rapportant au mouvement de la Lune dans l'ellipse immobile , ne peut pas être employée comme une première approximation , puisque les termes dus aux forces pertuibatrices ajoutent aux quantités désignées par 0 et ü des termes qui croissent progressivement avec le teins. Cette considération nous force de revenir aux équations différentielles (VIH') du n.° a3 , qui renferment l’effet des forces perturbatrices, afin d’en déduire, par la méthode de la variation des constantes arbitraires , l’existence de ces mouveraens progressifs , et reconnaître en même tems les modifications qu’il faut faire subir aux résultats obtenus dans le paragraphe cité , P°ur pouvoir les employer dans les approximations suivantes.

Quoique les seconds membres des équations (VIII) renferment, outre les coordonnées de la Lune, les coordonnées s* , u, v du Soleil, l’on peut imaginer ces dernières variables traduites en fonction de v. En « et , soit t=zF(y ') la valeur de t donnée par la troisième des équal0ns yf du paragraphe précédent, et la valeur de t qui

01 resu ter de l’intégration des équations (VIII) par une suite d’appi oximations successives ; en égalant ces deux valeurs de t , l’on aura une équation propre à fournir la valeur de y en fonction de 9%

Uome I.

&7m Les formules trouvées dans ces derniers tems , d’après le principe de la variation des constantes arbitraires , ne pourraient être appliquées au système de constantes adoptées dans la solution exposée dans le premier paragraphe de ce chapitre , sans éliminer le tems et introduire ces mêmes constantes à la place de celles communément employées dans la théorie des Planètes. Mais les relations qui existent entre ces deux systèmes sont tellement compliquées , qu’il est beaucoup plus simple de chercher immédiatement la variation des constantes arbitraires 7 , 0 , e, 73 , fy en partant des équations différentielles du second ordre. En opérant ainsi nous parviendrons à des formules différentes de celles qui donnent ces variations exprimées par les différentielles partielles d’une même fonction prises par rapport aux constantes arbitraires , et multipliées par des fonctions de ces mêmes constantes seulement. Mais pour le but que nous avons en vue , il nous a paru plus avantageux de renoncer à l’élégance de ces formules , et d’en chercher d’autres, qui ont un contact plus immédiat avec les équations différentielles qu’il s’agit effectivement d’intégrer en considérant les puissances supérieures des forces perturbatrices.

58. Retenons pour s , u9 t les fonctions de v> trouvées dans le paragraphe cité, et supposons que l’on y remplace chacune des constantes arbitraires /i , 7, 0, e, 73 ,/ par une fonction de la variable déterminée de manière que après avoir opéré ce changement, les nouvelles expressions de u , s , t qui en résultent , aient la propriété ,

i.° De donner pour t , ^?^>^<Ies fonctions de v d’une forme identique à celle que Ion aurait en substituant au lieu des constantes arbitraires les fonctions variables qui les remplacent dans les expressions de U formées en supposant constantes les quantités h\ 7, 0, e, v ,f-

2.0 De satisfaire aux équations différentielles du second ordre qui déterminent les valeurs de-~,.-~|j

En posant ^ = If" et en désignant, comme dans le n.° 37,

par h * la constante ajoutée à l’intégrale 2 J' ~dv , la troisième des équations (VIII) devient

dt 1

(ii +2 f vi"dv'y1'