CHAPITRE SECOND. 6q
En différentiant la valeur de h , l’on trouve
dk i+yy ddi* jfY dY
«p c r dv <rd\>
et en substituant la valeur de d± et de g , l’on aura
g = 3i^rn^2^cw(t,6)
En écrivant dans la’ seconde des équations, au lieu de
et posant ensuite p 9
l’on
aura
n" = -L( ~ -h du n'A
h V du u ds ~ dv ^ ) ’
&a(i ■+• ss)*
E» substituant cette valeur et celle de g * , - ff, les deux é ttons entre de et d&j deviendront
équa-
dvc°s(v-u r) + e£-sin(?-v)= ^ ecoi(P- +
/VA y
De là l’on conclut les valeurs
- h rr .
suivantes de e ~ et de — :
dv dv
“*" (l/i sin(t> — . s'cos (v~v)\ /a n'" îYcoslv — fl) ,\
de /
dv - - (fcn -
COi( v-m)- — . *•"*(* — «)\ /a n"' 2V ow(p fl) nA
rfp KO-**) A'S1- uy*
6 1 . Cela posé , si l’on fait pour plus de simplicité
Q = 2(1 -+• ss ) ^ sin(y — zu) — (1 yy — a «5-co5^ — w) ,
0' = 2(1 -+■ 55) d~ cos(v — ®) (1 rr - 2 ^ï) — ®) »
fon aura du
e ~ A; n"co5(p — ur) - -
dv K ' (i+y/)K(i+w)
TF?-
1 •+■ ^ sin
j ds . J
[/(l+«) fi?P
SS
— — &n"si/i(p — gj) -
Q' nf
(ï-^yy)^-*-")
y cos(y — ô)
f TF | cos(V a- ®) - • jj <ui(p - tu-) j.
Maintenant, si l’on suppose
q <5 dû, 1 ■+■ ss dû
u du
ds
l’on a
TT' ^(1) I dû
~ HT ~ h?"dî>"üFdv'‘
Q dû s dû
( 2 ) du. u. ds
rr" I du dû .
h 4 Àa c/p u dv'
donc , en substituant ces valeurs , et posant pour abréger pa-(k£- *i— • w»Q>--gr) - , - g, -
\ </p j/(i-kw) tfp/ v ' </p
P' = - 777^— r* ®)-*- 2/7^7 cos(p-©-) — -
V /(I^) dv) ^ > V \ (i+yy^^+ss) dv
ne ds*
1 yy dv *
il viendra
J. = l±iIo (t,w) — 2âa: ^ . iû
dv (T ( ) v ; ^ (1 ■+■ yy) /(i h-jj) wVp
= " ^2eyc0i(p-^)-&
P rfû
(i-*-yy) h* u%dv
chapitbe second. - ,
En substituant clans les expressions de P et P pour k% sa valeur
rdu • ' - - ds
& ~rv = — € «w (v— ©) -+- i
av \ J rfy *
* °n trouvera
. 3 2e rfo '
2 1 yy * *
En substituant dans ces expressions de P, P, ai„si que dans celles de Q, Q' pour s et % leurs valeurs, l’on aura
P= ï‘*K”-»>*-îgg>[ i + | «<*-«)
*** | ( 1 ■+■ a ïï)s/«(2 v- 26) -i yy sm(4c» 4$) !
P' = §■ e ■+■ -eW e yy ,
2 *-*-yy T-+-7y cos (2^ — 25)
H-2COs(2V7-2©)-+-?^lî^£)j 1 i ,
1 + yy * ^àVY— âVycos^v— 20)jc0s(i>— ©)
“ ii-vY>v<i+«) j(1+577>/n(2v-îeJ-[wWn(4t,4e) | stny vyt
Q ~ (2 y 2 7S) s/n (9—®)' -H 1 7 sw(at>— e— ©) sin (ît>- 3$-+-©)
^ ~ G 7 + 2 /) C(W (®-®)-Kj7 cos(2o-e-ro)ïï’cos(2t»-3ô+o).
le n ° ^eXp‘essl0tt de 5? relative à 1 ellipse immobile, trouvée dans • ^9 , peut être réduite à la forme
dl
S ' ~~ A‘ + A" cos v + J" cos 21» + A"' cos 3v + etc.
+ B" sin v B" sin 2V -t- ZT sin 3m- etc.
7 a THÉORIE DU MOUVEMENT DE LÀ LUNE
En imaginant substituées dans les fonctions A” , A"f , AT ^ etc.;
B" y Br y etc. au lieu des cinq constantes arbitraires h\ y, e, 6 , ts leurs valeurs variables, et en supposant pour plus de simplicité leur* variations représentées par les équations
dA" = G" dv , dA" = G" dv , dAry= Giy dv , etc.
dB' = H" ds> , dB"=H" dv , dBy=Hiydv , etc.,
l’on aura , après avoir intégré par parties ,
t -*-f A dv 4- A" sin v 4- | A'" sin 2t>4- 1 Aiy sin 3p -4- etc.
— B' co sv — ^ B" co s iv — | Bry co s 3v — etc.
—J' sin vdv — | 2vdv — etc.
H" cos v dv-h | Jlfl"' cos 2vdv-\-eic.
Dans le cas des forces perturbatrices nulles , la valeur de t ->rf se réduit à la somme des deux premières lignes ; ainsi , dans le cas de Forbite troublée , Fon doit prendre pour J' une fonction de v , telle qu’étant différentiée , l’on ait
G ” sin P4-| G" sin 2P4- 1 GTV sin 3v>4- etc.
— H” cos v — \ H"' cos 2 v—\Hiycos 3^— etc.,
ou bien
-^-sin v+.\.^-siniv + \. — sm 3f-+-etc.
dB» 1 dB'" 1 dBiy 0
-^rcwt’-ï-^7cw 2‘,-5--3TCM3‘’-etc.j
car il est évident que, en prenant pour f Fintégrale de cette fonction, Fon a
/ •+•/ ==yV 4- «n p 4- ^ d'" sin 2 v 4- ^ AÏV sin 3p 4- etc.
— B' cos v—^ B"' cos 2P — | ZF^cos 3p— etc. ;
c’est-à-dire une expression de *4-/* tout-à-fait semblable à celle que Ton obtient en supposant milles les forces perturbatrices.
