CHAPITRE SECOND
90. Les valeurs de Sy et $e trouvées dans les n.08 85, 87 résolvent immédiatement une difficulté que l’on pourrait se proposer en considérant l’intégrale fAdv qui entre dans l’expression de t+f. En prenant pour À sa valeur développée dans le n.° 63, nous avons les termes suivans
fA d e + \ e / C0{(2W 2 6) dv.
Donc , «n faisant -*-(i -c)p, ô = ô,-«- (i -g) l’on voit
aussitôt que le dernier terme de cette équation introduira dans la valeur de t le terme
dont le coefficient est, analytiquement parlant, du second ordre. Mais il est essentiel de remarquer que le terme du second ordre que nous venons d indiquer se trouve exactement détruit par le terme analogue donné par le développement de l’intégrale - f—, (e1 -t- f)dv. En effet
îlAiie J &
nous avons les équations
ma y, e ,a
— — C05(2^-2c)i;, ma e y a
— — C05(2^-2c)t,, ma e a y a
- le)
lesquelles donnent
partant l’on a
A*. - fi lj> ■ ££- Si - s . Ji- i *<„.
Mais les valeurs de c et de g trouvées dans le n.° 8o donnent
2£f — oc — 3 rna 27 m4 A- • i
2 * //i" Ainsi il est évident que le coefficient numé- «que de ce terme du second ordre est parfaitement nul.
aïlant 0lCrdfam dC n°UVeaU lexPress'°n de fAdv, et remarquant que dans les n.- 8i, 82 l’on a trouvé
^ 4 2£-2SC0s(2-^ *g)v\ §e s= — ^.-A^-~C0s(2l£ — 2c)e,
ioo
l’on pourrait , au premier coup d’œil , penser que ces deux inégalités du second ordre deviennent du premier ordre dans V expression du tems t, à cause de la nouvelle intégration qu’il faut exécuter pour obtenir la valeur correspondante de ^ 72)^* Mais il est facile de dé¬
montrer que les termes du premier ordre ainsi formés sont exactement détruits par l’intégrale j^^dv. En effet reprenons l’équation
dv
sin( 2v — 2,v)
posée dans le n.° 83. En y substituant pour v sa valeur elliptique, nous aurons
dv
h\ i -*-ry)Asin( 2P — 2v) j/i e cos (p — w) j
Donc , en prenant
i + /(i 4*^e2)cos(2P~2Ô)* Se2(i- |ya)cos(2P-2tïr),
^(/im +ecos l’on obtiendra
Sf, = - a») j-
nous aurons
liFTv
En posant (i ■+■ yy)4 = 1 + 4 /y,
b “ K* |(i * je*ysinW - aô) Ct Z4-^Ksin(2p' ~ 2w) (•
En conservant seulement les termes multipliés par maya, maea, cette équation donne
d’où l’on conclut , en intégrant ,
Il suit de là que l’on a
5 = % S 1 - ! ■ ■ 7wz.yiC0S^E ~ 28)r f • ïrr7cC0S(2E - 2c)pï ’
