CHAPITRE SECOND

A cet effet il suffit de réduire la valeur de cette fonction à celle-ci „ M'u!> /

** -—ur\ss-z)'

et de la développer en y substituant nos valeurs elliptiques de s et de u.

116. En considérant seulement l’argument (2g-ac)p, l’analyse que 1 on vient d’exposer dans le n.° 1 1 1 démontre que l’on a i\ «na «V 5 3\ , a

[?s a)~ T*z)e> y. «*(a^-ac)p,

ou bien '

— “ T ’ ô] e- y. cos(2g-2c)e.

Mais en retenant en outre dans le développement de la fonction fl les ternies suivans, savoir:

• j — 2e cos(v - w) | e3cos(a v — 2tr)

1 7 cos (21* — 2Ô) -—^e y* co s (0 « 4- ur — aô) et remarquant que la partie variable de e et de sr donne

2e cos(t> — or) =3 — 2Se*coscp — 2e#Sur sincv7 l’on en conclura que, en prenant

r„„ as" -- ». - {r:+(v-,4,.

— 2ecos(p-w) = - 2e coscp-»-^ey(3cos(2^-c)p.

D°"C’ ^%fb«ituant cette valeur dans la précédente de fl , et po- Sant «'V* ~ m ( Voyez n.° 108), l’on en conclura

T’^e. y, cos(2g-nc)i>

4 ' a, l~ 2,e’C0s c ^ -e^cos 2CI>* -y1 COS 2S V >•

i i 7 gy ^ 2 ' ^ J

valeur en fonction ?aintenant 1Ue r°“ substitue ici au lieu de v sa e £5 au moyen d’une équation de la forme

nt = *>- <£(„) f

la8 théorie du mouvement de la. lune.

et cherchons quel doit être après cette substitution le coefficient numérique qui affecte l’argument (2g - 2 c)nt. Pour cela il est nécessaire d’avoir la fonction désignée par <p(v). Or l’expression de t-*-f trouvée dans le n.° 63 , après le développement des parties variables de e et 7 exposé dans le n.° 89 , donne

î ■+* /= — 2e sin c p h- - e2 simc p •+• - 7 *sin 2gp ■+• ey*sin(2g - c) > î

donc, en posant n = r,1 et écrivant pour plus de simplicité nt au

lieu de ne -4- nf , l’on aura

<p{y) = 2 esincv — ^ e 3 sin 2 cv — ^y*sin2gv — e y* sin (2g — c)p.

Cela posé , si l’on fait

t)/(p) = — 2et COS CP -4- - e * COS 2 CP - 7* CO 5 2gP ,

— i)/(p) = 2 e S£Ai CP — 3 e a 5£>Z 2 CP — 3 7* siri2gv y

nous aurons, d’après le théorème de Lagrange,

'K") = 'K'w) -*■ ("«) x ^'(m) -h etc.

En formant le produit <f >(nf) x if /'(nt) , et retenant seulement l’argument (2g —2 c) rct , Pon trouvera

$(rat) x = (— I ■+■ | ■+■ |) e,1 y,1 cos(ag —2 c) ne

= i e#a 7;a cos (2 g — 2 c) nt .

Il est d’ailleurs évident que la fonction ~ • d' ^ donnerait ,

en vertu de la différentiation, un résultat de la forme A(2g—2c) e3 7 3 cos (2g — 2 c) nî,

c’est-à-dire un terme que l’on peut négliger comme étant d’un ordre supérieur au précédent de deux unités. Donc les deux parties qui composent la valeur de & posée à la fin du numéro précédent, donnent un résultat nul, puisque l’on a

& = - ir*£e’7,2(i -l)C05(2g-2c)Alî = o.