B SS
Dans te i^ système, a/= o,.. j:*:=:; o, chacune des valeufs de j?, tirées de l'équation à une seule inconnue j:'= o, peut se cokibiner avec Tune quelconque dés valeurs de ^ tirées de IVq^uation à un^e seule inconnue x"^ o*
Par une raison semblable, on obtiendra- les solutions du> a* système, y =t:o, x"=Oy ep eombinant chftcune des valeurs de jr tirées de l'équatioi» y .=$= o> avec chacune dea vate^urs de 3f tirées de x" = o. .
• Dans WB^iÊjnitkme, a^.x=iO^ B as e>, la i^ équatioii , né con-^ ieBfmi que la seule incoiiiiiie »f donnera un nombre limité de valeurs de cette inconnue, et cbatiUtie de ces valeurs, $ubs<* tituée dans B=^ o,..foumira une équation en j* d'où Ton tirera les valeurs correspondantes de j*.
On voit semblablement que chacun des trois systèmes
yî=o, B = o||a:'' = o, Ats=o||^* = o, A=:o,
fournit Un nombre limité de valeurs des iticonnues x^ y ^ et que Ton obtient ces valeurs en résolvant des équations à une seule inconnue.
f 1 ûe re^e donc c(û'à traitetle sys^me{^.., A3&:o, Barro,. dans lequel A et B dont de« fonctions A^ x ^\.y qui n'ad?-^
inettent aucun facteur commun. Pour éliminer x entre les équations (2), on ordonne les polynômes A, B, par rap-r port aux puissances décroissantes de J? , et en supposant que le plus fort exposant de x dans A ne soit pas moindre que dans B , on divise A par B ; dans tout le cours de cette division , on évite les fractions en multipliant par des fonctions convenables àejr (page 62) ; si a désigne le produit de toutes les quantités par lesquelles il a fallu multiplier les dividendes successifs pour parvenir à un reste K' d'un degré moindre par rapport à x que le diviseur B , la division de Aa par B fournirait un quotient entier Q' et le même reste R' (page 63). On aura, Aa=BQ' -f R^
On prouvera , comme dans le n® 4^ y V^ ^^ système (3). • • B = Oy R' = o , contient non^seulement toutes les solutions du système (2) , mais que souvent il donne en outre des valeurs de x et y qui ne conviennent pas aux équations (2). . . A s= o , B = o.
Pour déterminer les solutions du système (3) , on décompose le reste R' en trois facteurs T,, X,, R,, (n* 35); de sorte
que R' = y,xX,XR,.
Le facteur Y, ne peut contenir que la seule inconnue jTj et X| ne peut contenir que la seule inconnue x ; le facteur R^ est une fonction de x et jr qui n'admet aucun diviseur indépendant de l'une des inconnues x, j*. On obtiendra les solutions du système (3) en cherchant successivement les diverses solutions des trois systèmes
Bs=o, Y,=oi|B = o, X,=o(|B=o, R,r=o.
Dans le i^ système » l'équation à une seule inconnue Yjtrro fournira des valeurs de j^ , et en les substituant successivement dans B = o , l'équation en x , qui résultera de cette substitution , fournira les valeurs correspondantes de jt. On trouvera de cette manière toutes les solutions du système
On déterminera semblablement les solutions du 2' système, X(S3 0, B = o , en résolvant des équations à une inconnue.
Eiifiû, pour calculer. les solutions du 3* système ^B:=sio^ R, =z o , on divisera B par R^ , et Ton évitera les quotiens fractionnaires en multipliant les dividendes par des fonctions convenables dejr (page 6a) ; si b représente le produit de toutes les quantités par lesquelles il a fallu multiplier les dividendes successifs , pour n'obtenir que des termes entiers au quotient et pour parvenir au reste R'.d'un d«gië moindre (par rapport à x) que R, , la division de Bb par R, fournira un quotient entier Q" et le même reste R"^('page 63). On aura.
Le système (4)...R, = o^ R"=;=o^. fournira toutçs les solutions du 3* système ^ et quelquefois il donnera en outre des valeurs de x etjr qui ne conviendront pas à ce 3* système.
On décomposera R*' en trois facteurs Y» , X» , R» , et Ton obtiendra les solutions du système (4) en cherchant successivement les diverses solutions dé chacun des troià systèmes
R,=o^ Y4 = o||R, = a, X»=ojIR, = o, R»=o. .
. Efù continuant ces calculs , on parviendra à, un reste R in-^ dé||endant de a;.
lie plus grand commun diviseur de A et B sera le même que celui de deui^ restes consécutifs, quelconques (n® 3a) ; et comité les polynômes A , B , sont premiers entre eux , il n'existera jamais de facteur commun entre deux restes consécutifs. Par conséquent,, le reste R ne sera jamais identiquement nul, et te système . Ci). n'admettra qu'un, npmbre fini de solutions (n*»43:, 8").., i^ £x|:])iPL£. Soient:
En opérant comme dans le d? 35 , on trouvera
X = 2(ar— i)a:', a:' = 3, x^=.,2Xy
Y=Cr— i)jr^, y=J'7 ^""=1, J) = x + jr, A = Cr4-i)ar+i, B = x — jT;.
(•6) Les f(MmnlM >(i) . . . F =: XYBjeyA, P» as XYlktyB , donnerait
'X'éqaation X = o donne x=so et x=i. Chacune de ces valeurs de x sadsfa^f yi système (i). . . F = o, P* ss o, quel que soit j^.
L'équation T = o donne jrs^oetjrszi. Chacune de ces valeurs de jr satisfait au système (i) quel que soit x.
L'équation D = o donnant jr = — jr^ chaque valeur arbitraire de jr fournit une valeur correspondante de x.
Les nombres ^ et j^ ne pouvant pas se réduire à zéro ^ les
systèmes a:'=09 ^"sr: o jj x' = o , B=:o (1 j^'=o, A=o,
n'admettent aucune solution.
Chacun des systèmes ^z=o, x" ^=i o \\ jr z=z o ^ Bso, donne jr=zOj x = o.
Le système x'ss o , A = o , n'admet aucune solution finie, carx*=s5 donne x^=iù et A= i.
Enfin le système A = o , B s= o , fournit les deux solutions
Le système (i) n'admet pas d'autres solutions.
a' Exemple. Soient les équations (i)... Ps=o, Q==0) dans lesquelles P et Q pnt les valeurs indiquées ( page Si ). Si l'on décompose P et Q en facteurs , par l'une quelconque des méthodes du n® 87 y on trouvera ( page 54) ,
Pour calculer toutes les solutions du sjrsteme (i), on égalera successivement à zéro l'un quelconque des facteurs de P et de Q. Ce qui conduira aux résultats suivans s
t^ Ji'éqnation a (a: -^ i) :jt:a, dQUe xtia^Oy x:±s t.
€es yaleun de x satisfont aa éystime (i), quél ^é sôit ^.
a^. ^-f- I s^o donna jrtsï*^i. Oetia talaur de ^ «itisfait au système (i) , quel cpie «oit x. '
S"". La relation «-«-j-sso, admet nne infinité de valeurs de X et j-, qui ^i^tisibnt au j^ystème (f)<
Telles sont les solutions fournies par l'égalitë à zéto àa plus grand commun diviseur de P et Q«
4'. ar+i = o, ^ — 3=30, donne a:=±— i, ytaeS.
. 5*. â9-f-i«=0| x-4^^yiî£ù^ donne * tis — i , ^ = -* 6^. ^ ==i o , a? + 2 =s= o , donne j^ ±fe o , a: = — a, ^•- j^=iO, a?4"V=^<>> dowùc ^'ttào, a?=i±ro.
8". j- — 1 = 0, j:-f-2 = o, donne j^stei, ar=c — ji. 9®. ^— 1 = 0, x + V=^®> donne ^==i, x = »*-a. lo". a:-f^2 = o, X* — j^x-— aj^'sso, donne
ïi«. j- — 3 = o, X* — j'a: — 2j^ = o ,' donne jtœS, arssaÇ ||y=3, x = ^3.
12®. Enfin , pour trouver les solutions fournies par le système x* — jrx — ^x* =o» ar + 2j^=o,
on divise or* — •j<-A:*-îy^*pW^-f.q7',cequitondUitaureste4/''« Les solutions demandées sont de'terminées par le système 4^»stt0j jc + i)r-±6, qui dOhne j^ ±i= , X:=^o.
Le système (i) n'admet pas dVntres solntiônd.
