Pour résoudre trois équations

(i).,,Pa=o, (2)...Q±=o, (3)...R = o,

fui t^njhrmerù avis inconnues x, y , t^ ùù âlmitie snc-> cessivement js entre (i), (i), et (i) , (3); tela cotiduit à deux équations (4)..-F(ar, j^)£=eô, f(X^ j^):i=:o, qui servent a déterminer x et y. L'élimination ' de x entre les équations (4) conduit à Une équation (^ . . . 4> [y) ^t= d, qui donne toutes les valeurs de y. Soit C nue de ces valeurs \

on fiut jr = C.éàns F(jp,j^) ttf{Xjjr)\ on cherche le plus grand commuki diviseur X, des résultats F(â?, C), f{xj C) ; l'équation X = o , fournit les valeurs de x correspondantes k. j^ = C ; si « désigne une valeur de x tirée de X = o , Tune des solutions des équations (4) est x = «, j*=s C. La sul^stitution. de ces valeurs de x etjr^ dans P, Q, R y fournit trois fonctions de z ; on cherche le plus grand commun diviseur Z de ces fonctions de z ; l'équation Z =: o détermine les valeurs de z correspondantes à âr = «y j^=C.

Exemple. Soient les trois équations (i).,.*+j^+s— 6=0, (a)...z»— x^^j^— 4=0, (3)... z^ + xjr — x* — 7= o.

L'élimination de z entre (i) , (2) , et entre (i) , (3) , donne

(4) . . . Cr — 6) j?— 6/ + 1 6 = o , 3Cr — 4)^ +j^»— 1 2r+ 29 = o .

Éliminant x entre ces deux dernières équations / il vient

L'équation (5) donne ,

Lés valeurs correspondantes de x , déduites de (4) > sont a: = >, a: = ^ (7 :?: 6 v/73 ).

Et en substituant ces valeurs de o: et j^ dans (i), on trouve que les valeurs correspondantes de z sont,

Les sigiies supérieurs se correspondent , ainsi que les signet inijérieurs. De sorte que le système des équations (i) , (2>, (3) ; proposées , admet trois solutions '

En général: la résolution de n équations d'un degré quelcqnque entre n inconnues, conduit à. des équations dans diacune desquelles il n'entre qu'une seule inconnue.

(89) Résolution des équations irrationnelles.

5o. Lorsque les inconnues entrent sous des. radicaux, féLixiNATioN donne le mojren de calculer les équations rationnelles qui déterminent les valeurs de ces inconnues) à cet effet , on égale chaque radical à une nouvelle inconnue ; on fait ensuite 4isparattre>les radicaux; ce qui fournit des équations ration* nelles antre. les inconnues. primitives et les nouvelles inconnues ; l'élimination de ces nouvelles inconnues conduit à des équations, rationnelles entre les inconnues primitives , et nous avons vu comment on résout ces dernières équations. '

1** Exemple. Soit l'équation (i) . . . \/x + \/x — 5 = 5.

On fait \/x = jy et {/x — 5 = z; d'où,

(a)... j'+zssS, (3)\..jr^ = Xy (4).. . «•=ar — 5.

Pour obtenir V équation finale en or , il suffit d'éliminer jr etz entre (2), (3), (4); à cet effet, on remplace d'abord y par sa valeur 5 — 2, tirée de (2); Téquation (3) devient (5) . . . z* — 10^ + aS — j: = o ; Télimination de z entre (4) et (5) conduit à diviser z* — loz -f- (26 — x) par z' — {x — 5) ; ce qui donne le quotient -4- 1 et le reste — 10 (z — 2) ; on divise z* — (jT — 5) par z — 2 , et le reste indépendant de z étant — X + 9 , l'équation finale demandée est — a: + 9 = o ; d'où a: = 9. Cette valeur de x satisfait à l'équation (i).

Remarque. Le seul moyen de rendre l'équation (i) ration* nelle , est de faire disparaître les radicaux en les élevant au quarré ; ce qui fait disparaître le double signe dont la valeur de chaque radical doit être affectée ; chacune des équations ,

conduirait donc à la même valeur ^ =9 ; et cependant, en ne prenant que la valeur arithmétique de chaque radical , la va-^ leur X = 9 ne satisfait à aucune des équations (6).

£n général , lorsqu'on fait disparaître les radicaux contenus dans des équations, les valeurs des inconnues, tirées des équa-

(go)

lions rationnelles qui en résultent, peuvent ne convenir qu'à certaines combinaisoûs des diverses valeurs dont ces radicaux sont susceptibles, %* ExtaiPLE. Soient le* équations ,

On fait, v/«=ssj;, ^x — '»*=<> V^^+Sttv, vO^+aatM ;d'ou^

(3)... «*aa4?, (4)... e»aa^— I, (5).. . l'^riîcr + S, (6)... tt»aï:jr-f*îl, (7)... jg + l=i , (8).. . 1^ — M= I.

Pour obtenir les deux équations rationnelles qui déterminent les valeurs des inconnues x, jr^ il suffit d'éliminer Zy ty V eiUy entre lel équations (3), (4)» (5), (6), (7)) (8); à cet e£fety on élimine successivement les inconnues z ,/, entre (3) , (4) t (7) y et les inconnues VjUj entre (5) , (6) , (8) , ce qui conduit aux équations demandées y

(10). ,. X*— 2(jr — 5) a:4-(^*— 14^+17) = 0.

Si l'on élimine ;r entre les équations (9) et (10) ^ par la mé** tbode du n® 4^^ ^^ deux derniers restes seront

Et comme on est parvenu à ces restes, sans multiplier lés dividendes par des fonctions dej^, les solutions du système (9} et (10) sont les mêmes que celles du système R = é , R, = o. Les solutions de ce dernier système sont

{ll)...jrcz2.

Le système (i 1) donne une solution arithmétique des équations (1) et (2) proposées.

Le système (12) cOnvieitit aux équatioms

Remarque. Les autres systèmes , que Ton déduirait des équa-* tions (i) et (2) eu changeant les signes des radicaux , n'admet— traient aucune solution aritlimctiqne.