Appliquons cette théorie générale à des exemples
I*'. Exemple. Soient les équations ,
j^=ix^ + 7.jrx^ + ajr{jr — a) ar-4-^* — 4=o> B = a:* + 2^"^ + 27^* — 5^ + a = o,
• La division de A par B donne le quotient x et le reste
R'=er^2)a: + cr*— 4). ' -
Le coefficient i du 1*' tçrme de B n'étant pas divisible par le coefficient^ — 2 du i^' ternie de R', on multiplie B par jr — 2, et l'on divise h{jr — r2) par R' ; le 1" terme du quotien,! est X, et Wreste est r=z(y — 4,X'+4)^+ CT — 2)(2j^* — S^-f 2).
Le coelÉcient j^* — 47^+4 ^'tant divisible par^ — 2 , on divise r par R', ce qui donne le quotient jr — 2 et le reste
. R=Cr— 2)(jr'— 5r+6).
L*équationj^.-^5j + 6=:o, donnant ^=2 et 7*= 3, on a
R=(j-2)Cr-2)Cr-3).
La valeur ^=2, tirée de R?= o, peut ne pas convenir auic équations proposées , A=q, B= 0, car elle réduit à zéro la quantité j* — 2 par laquelle on a multiplié B.
Pour trouver les valeurs de x correspondantes kjr=i2y on fait j* = 2 dans R' ; ce qui réduit R' à zéro. On est donc conduit à faire ^=2 dans B==o (n^ 4^ y 8°)» ce qui donne a;*+4^=^î d*où a:=o et j:=:— 4* Chacun des systèmes
j- = 2,'ap=o||j-=2, a:=— convient aux équations proposées.
La valeur j-s 3, tirée de R= o, conviendra nécessairement aux équations proposées, car elle ne réduit pas à zéro, la quantité J-— 2 par laquelle on a multiplié B (n** 4^, !**)• Pour obtenir la valeur de a: correspondante à j* = 3, on fait j'=3 dans R'= o , ce qui donne a:=:.— 5.
On voit que les équations proposées admettent les trois sojulions distinctes
^3r2,ar=o llj-sajarrs:— 4 ||j'=3,a:=— 5.
On peutsimpli^er les calculs en observant que j^" — 4 ^tai^t le produit de ^-!-2 par ^+a, le reste R' de la division de A par B^ contient le facteur j — 2; de sorte que R' = (j* — ^î(a:+j"4-a); et comme on est parvenu au reste R' sans multiplier le dividende A par une fonction de jr^ on est certain que les solutions des équations proposées sont les mêmes que ctQes des équations , B= 6, R' = o, (n" 4^) ; il suffit donc, pour obtenir ces solutions , de traiter séparément chacun des deux systèmes
B = o, jr — assco II B = o, j:+j- + 2îz=o.
Le i^ système fournit les deux solutions,
J*==2,a:=o 11 j-:te2,x==î— 4.
Pour trouver les solutions du 2* système , on divise B par x+j'+ 2 ; ce qui conduit au reste R=fe^*— 5^-f-6. Leséqua-» tions R = o,ar+j'+2 = o, déterminât les deux solutions j*=2, ar=-=-4 II J^î=3,ar= — 5, des ét^uations proposées^
Enfin , on parvient aux mêmes résultat^ en éliminant jr entre les équations proposées; à cet effet, on ordonne A et B par rapport aux puissances décroissante» de j* 9 ce qui
donne, A=(2a:4-0j*' +^ (^'~^) ^^ + (^ — 4)t B = 2^*4^ (2j:— 5) jr + (.r» + 2).
On divise 2A par B, ce qui conduit au reste
R'sssSt*— (x* + 4a?+ 10).
On divine 5B p«ir R', le 1" terme du quotient est 2^ , et le
( 74 ) rests correspondant est
r' = (aar* + i8r — 5 )j- + 5 («• + 2).
£tifiii>/ ta diyUiôn de 5/ par R' donne le reste
K=zax(x^-^ i3 a:* + 56 a: + 8o).
Les solutions des équations proposées sont les mêmes que celles du système R'ssao, R=o ^ car pour rendre les divisions possibles , il a suffi de multiplier les dividendes par des nombres (n*» 43 , 4«) .
L'équation R=:o , donne a: = o ^x:= — 4 1^='^4 > ^==—5. Les valeurs correspondantes de X9 déduites de R'=o, étant
on retrourre entore les trois solutions distiiMites
j-=2,ar==o ||^=2,x='— 4 ||/ = 3,a: = — 5. • 2* Exemple. Soient les deux équati^is
A = {jr — i)a:*+ 2a:— 5^+3 = 0, ^^jx^'+gx — iq;r = o.
Nous allons donner plusieurs méthodes pour déterminer les solutions de ce systèn^e.
i'^ Méthode. On élin»rne a: entre les équations proposées; à cet effet y on divise Ar par B » ce qui fournit le quotient entier
^~ I , et le reste R' =(9 — 7^)^ + (^r — ^)Jr.
On divise B(^ — 7^') par R'; le i** terme du quotient est j^x y et le reste correspondant est .
Le 1" terme de / n'étant pas divisible par le i" terme de R', on divise r' X (9 — 7J*) par R', ce qui conduit au reste
R = 25j^ *- 70^^* -^ 1 2^^ -+* 4 *4^* — s^^^jr .
Ce reete ayant un commun diviseur; jr^ avec le miiltiplica-
(7S) teroarj" dont on a fait usagé pour rendre là première division possible, le système R = o , R' = o, peut admettre des taleurs de x et jr étrangères aux équations proposées (n<> 43, 5").
L'équation R = o, donne j'sso; cette valeur dej^, substituée dans R' = o , donne â:?=o. La solutioa ;r=o , j*=o , du système R=:o, R' = o, ne convient pas aux équations proposées, car elle ne réduit pas  à ^éro.
Pour trouver l'équation qui fournit les autres valeurs de jTj on divise R par j-, et l'on égale le quotient à zéro , ce qui donne l'équation
(i). .. aSj-**— ']oj^ — 1267* + 4ï4^— 243=^0,
Le premier membre de l'équation (1) n'ayant pas de fa&« teur commun avec les multiplicateurs jr , g — fjjr , dont on a fait usage pour rendre les divisions possibles , aucune valeur dej" tirée de (1) ne saurait réduire l'un de ces multiplicateurs à zéro ; toutes les valeurs de j^, tirées de (i) , conviendront donc nécessairement aux équations proposées (n^ 4^9 4^)' L'équation (i) est donc l'équation finale Gnjr, résultante de l'élimination de X entre les équations proposées*
L'équation (i) a deux racines commensurables ^ j*$csi, ^= 3 ; et en égalant à zéro le quotient 2i5^* 4- 3o^ «- 8f , du I*' membre de (1) par le produit j** — 4j^'»+ 3 des facteurs r — lyjr — 3 , on trouve que les deux autres racines de l'équation (i) sont
Pour obtenir les valeurs de x correspondantes aux quatre bonnes valeurs de j*, on fait successivement
j'rsi, j-=3,^ = g(— i + V^io), j-=-(— I — ï/,o),
4ans R' = 0; et l'on en dédait le^ valeurs demai^dées,
x=i, j: = a, j:=— 5 — ^.^/lo, *== — 5-|-V^io(*).
a* Méthode. On élimine j^ entre les équations proposées ; h. cet effet , oa ordonne A et B suivant les puissances décrois-* santés de j^ ; ce cpii donne
A=(x^ — 5)^ — (x^ — 2x — 3), B=(ar* — 10)^^+93:.
On divise A (ar* — 10) par.B, ce qui donne le quotient x* — 5 et le reste ,
Ce reste n'ayant aucun facteur commun avec la quantité X* — 10 par laquelle il a fallu multiplier A pour rendre la division possible, les solutions du système (i)...A=o,B=Oy sont les mêmes que celles du système B= o^ r=: o (n* 4^9 4^)«
(*) En faisant^ =: 7(^-1 -4- V^'io) dans R' ;= o, on trouve
aa — yV^io
Pour obtenir une eiprestion de x dont le dcnominateor soit raûoimel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par aa H* 7 V^io ; et. en observant que (a -4-V^Â) (« — V^A) = a* — b, on trouve x s= — 5 — V'io.
On verrait de même que ^ = r (— 1— V^io ), substitue' dans R'=:o, donne
Mais cette substitution est inutile, car la a* valeur de^ ne difie'rant de la l's que par le signe de V^io,' la nouvelle valeur de x ne doit différer de la précédente que par le signe de V^io.
En général, pour transformer une Jraction ^ en une fraciiot^
équivalente dont le dénominateur soit rationnel^ il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par a -r V^^, car
a-^V'b («4-i/*)(fl-:-l/&) «"-^
( 77 ) ■ De sorte que rsso est Téquation finale en x résultante de l'élimination de y entre les équations proposées.
L'équation r = o , donne
x=l, â?=r:2, ap= — ^5 — V^io, x = — S + V^IO.
Les valeurs correspondantes de jf^ déduites de B = Oy sont
j- = i, ^ = 3, ^==§(— i+V^io), j- = g(— I — /lo).
RzVARQUE. On parvient plus simplement à Véquation finale r=o, en égalant les deujc valeurs de j* tirées du système (i).
46. Pour déterminer l'équation qui donne toutes les valeurs de X propres à satisfaire au système f(y) z=zo,p{x,jr):=s:o, il suffit d'éliminer j* entre les équations données ; à cet effet , on ordonne f(y) et ^(j?, jr) par rapport aux puissances décroissantes de y; et l'on continue les calculs du n® 4^ jusqu'à ce qu'on parvienne au reste R indépendant de y. L'équation R=:o, détermine toutes les bonnes valeurs de X) mais lorsque pour éviter les quotiens fractionnaires, on a multiplié des dividendes partiels par des fonctions de Xy l'équation R=o peut donner en outre des valeurs de x qui ne conviennent pas aux équations proposées.
Exemple. Soient les équations
On ordonne A et B suivant les puissances décroissantes dej^; ce qui donne
Az=^»+(i — ^y + {x* — ar— a), B=j^ — 5y + 6.
La division de A par B , fournit le quotient + > et le reste
R' = 2(3 — ar)^4-(ar* — ar — 8).
On divise a (3 — ar)B, par R' ; le i*' terme du quotient est ^y , et le resteest
/=: ( — x^+ II*— 22)^-+ 12(3 — a:).
s\ 27*+ 1 divise R, la valeur j- =-^ - tirée de ^jr + i := o ,devra re'duire R à zéro , et l'équation
ne saurait admettre une racine fractionnaire . Il résulte
du principe du n® 4^ (4°) > 4^^ toutes les valeurs de j^ tirées de R = o, conviennent au système (x) ; de sorte que Véqua— tion finale en ^ est R = o. Cette équation donne j" = o , J'= i y ys=s, — I, j'= — 2; et en substituant successivement cea bonnes valeurs de^, dans l'équation r'=Oy on trouve que les valeurs correspondantes de x sont — i , o ^ -f~ ^ » ^^ +J •
Remarque. La propriété du n*' 43 (9^) 9 fournit le moyen de simplifier le calcul précédent. En efiet ; la division de (27'-)-i)B par r^ a donné le reste
'• = (4r + 3r — i)*+(ar+i)Cr'-i).
Or, ^^ — 1 = (^ + i) (^ — i) ; et il est facile de voir que r admet le facteur jr + i de ^*— i , car ^ = —1 réduit
4j'' + 3^ — ' ^ ^^^^ i 1® quotient de 4^**4- ^y — i par j'+i éUnt 4^—1 , on voit que r={^+i)f (4^-i)x+(aj-4.i)(^-i) }.
Toutes les solutions du système (i)... A:;= o, B = o, sont fournies par le système r^ = o , r = o ; et pour obtenir les solutions de ce dernier système , il suffit de traiter séparément chacun des deux systèmes
(2)...i^=o, j-4-i:=o, Jl (3).../=o, (4^-i)x4-(^^+0Cr-0=o-
L'équation ^+1 = donne j' = — i , et la substitution de cette valeur de y dans r' = o donne a: = 2. La valeur ^ ==— I ne réduisant pas à zéro la quantité 2^^-1-1 par laquelle il a fallu, multiplier le dividende B, pour éviter les ^ fractions, la solution ^;=-- i, x = 2,du système (2), con-. vient nécessairement au système (i) , (n^ 4^ > '^)*
Pour déterminer les solutions du. système (3), on divise (4j<' i) r' par {^jr — i)x + (2^-4- CT — 1) , ce qui con-
(8« ) duit au reste
R=Cr— 0{(ar4-«)* + (4^~0} = 4^Cr— OCr+a)-
• L'équation R = o, donne ^=o, ^=1, ^ = — 2. Leé valeurs correspondantes de x , déduites de / = o^ sont — i ^ o , -|- I ; et comme aucune de ces valeurs de y ne réduit à zéro l'un des mulliplicateurs 2j* -|- i , 4 J* *"' i > dont on a fait usage pour rendre les divisions possibles , les trois solutions du système (3) conviennent nécessairement au système (i). £n général, lorsque k étant le produit de m facteurs du 1*' degré de la forme ax-^bjr+ c, B est le produit de n facteurs de la même forme, les équations (i)...A=o, B = 0| qui sont respectivement du m»^"** et du n^^"*' degré, admets tent mn solutions communes au plus; car, en égalant à zéro l'un quelconque des m facteurs de A et l'un quelconque des n facteurs de B, les deux équations du i" degré qui en résultent fournissent une solution du système (i). Quand chacun des mn systèmes d'équations du 1^ degré , ainsi formé, est possible et déterminé , on obtient mn solutions des équations (i). Quand plusieurs de ces systèmes deviennent contradictoires, le nombre m>n des solutions diminue d'autant d'unités qu'il y a de systèmes contradictoires. Si tous les systèmes d'équations du 1^' degré sont incompatibles, les équations (1) n'admettent pas de solutions communes. Enfin , lorsque l'un de ces systèmes devient indéterminé, A et B ont un facteur commun, et les équations (i) admettent une infinité de solutions. Par conséquent, si l'on élimine l'une des inconnues Xy jr^ entre les équations (i) , l'équation finale sera du degré mn, ou d'un degré moindre que mn , ou cette équation deviendra absurde (c'est-à-dire qu'elle conduira à l'égalité d'un nombre à zéro) ; enfin , l'équation finale pourra devenir identique.
48. La méthode qui a été donnée (n^ 35) pour décomposer un polynôme, fonction de x et j-, en trois facteurs f(x)j' 9{X)9 ^(^> J')^ fpumit le moyen de simplifier les calculs relatifs à la recherche des solutions du système de deux équa» lions P' = o, F" = o, entre deux inconnues x et y. Ontlécom-'
pose chacun des polynômes P^, P'', en trois facteurs , ce qui
conduit à des e'quations
•(i)...P'=XYDaryA = o, P" = XYDjry B = o , (page 49),
d^QS lesquelles X , x' et j::* ne peuvent contenir que la seule inconnue x \Yy y tt jr" ne eontiennenf que j^; D, A et B, contiennent xetjri chacune des quantités j/, y^ A, est pre-* mière avec l'une quelconque des quantités xf, y ^ B ; de sorte quç le plus grand commun diviseur de Y et P^ eât XYD. Les polynômes A, B, qui sont premiers entre eux, n'admettent aucun diviser indépendant de l'une des inconnues Xy y ^ ni aucun^diviseur monôme.
Un produit de facteur^ entiers étant nul , lorsque l'un de ses facteurs se réduit à zéro , on obtiendra des solutions du système (1) en égalant successivement à zéro l'un quelconque des facteurs de F, et l'un des facteurs de P" ; les deux équations résultantes fourniront des solutions du système (i). L'en-* semble de ces solutions déterminera toutes les valeurs des inconnues Xy jr^ qui satisfont aux équations (i) proposées ; car on conçoit qu'un produit ne peut devenir nul que lorsqu'un de ses facteurs se rédmt à zéro.
Discutons ces différens systèmes d'équations.
I®. On satisfait aux équations (i) en égalant à zéro l'Un quelconque des facteurs X, Y, D, communs à F et P.
L'équation X =3 o ne contenant que l'inconnue x^ détermine un nombre limite de valeurs de x» avec chacune desquelles on peut conlbiner des valeurs arbitraires de jr. De sorte que x est déterminé, tandis que jr reste entièrement indéterminé.
L'équation Y'^^ o , détermine jr ; et « reste arbitraire.
Enfin , l'équation D ss , contenant x et jTj on peut donner des valeurs quelconques à ;t ou à ^ ; l'équation résultante, ne renfermant plus que l'autre inconnue , fournit les valeurs cor» respondantes de cette dernière inconnue.
Ainsi, chacune des équations X=s: o, Y= 0, Dsiro, détermine une infinité de solutions des équations (4) , et l'on obtient c:es solutions en résolvant des .équations à. une seule inconnue.
' 2^ Les aatres manières de satisfaire aux équations prO* posées consistent à égaler à zéro , en même temps , Fun âeé facteurs sif^ y' ^ A , de P', et l'un des facteurs x", j^*, B , de P* j ee qui fournit neuf systèmes.
Or, aucune taleur de :r ne daurait satisfaire au système «^ ns o, jp"=3 o ; car si J? =£= « réduisait â/ et a:* à zéro , ces dieUx fonctions de x teraieht divisibles par x -^ « ; ce qui ne peut avoir lieu , puisque x' et x'* sont premiers entre eux.
Par une raison semblable, lé système jr' = o, y=o, h'admet aucune solution.
Il ne reste donc que les sept systèmes possibles,
Af'ss d
iir-'::
