+ + + +-- 4, OU + + +

présente quatre ou six variations.

4. Nous supposerons dans tout ce qui va suivre , que Téquaiion proposée est ramenée à la forme

(i)... ar"+ar"-«+ôx"-*+cj:'"-^+...-}-rz*+jj:+/=o;.

de sorte que son premier membre , que nous désignerons par f{x) , sera ordonné suivant les puissances entières positives et décroissantes de x. Tous les doefficiens, a, 6, c,..., r, i-, /, seront des nombres positifs ou négatifs. *

Lorsque nous dirons que cette équation est complète^ nous sous entendrons qu'aucun des coefGciens, a, 6, c,..., r, s, tj n'est égal à zéro.

Quand le coefficient a de x*""' est nul , on dit que V équation, manque de fécond terme.

Lorsque aelb sont nuls , on dit qu'il manque deux termes entre x^ et cx^"^ ; et ainsi de suite.

Par exemple, l'e'q nation x^ — aor* + *)X — 5 = o est complète^ et l'équation x^ — 2a:* -f- 5 = o , manquant de second terme , est incomplète.

5. Dans toute équation complète du m^^"*' degré, le nombre des permanences ^ ajouté au nombre des variations donne une somme égale au degré , m/ de l'équation^ car les deux premiers termes offrent nécessairement une permanence ou une variation , et chacun des m — i autres termes détermine aussi une permanence ou une variation.

6. Lorsqu'une équation est incomplète , on peut' toujours la rendre complète , sans changer ses racines, en rétablissa^tt les termes qui manquent et en les affectant du coefficient dz o.

Ainsi , l'équation incomplète x* — x + i =: o, peut être remplacée par Tune quelconque des équations complètes équivalentes ,

x^ — 0x^4- O.T* — a: 4- 1=0, oc^+ ox^ — oar* — ar-f-i =-0, ar4 -I- oj:^ -f- o^' — a: + 1 = 0, oc^ — oa:^— oa?* — ar-f-i = o.

. En rétablissant de cette manière les ternies qui manquent , le nombre des variations et des permanences peut augmenter ou diminuer dans les équations complètes que l'on obtient. Ainsi, dans l'exemple ci- dessus, la i" des quatre équations -complètes ne contient que des variations , tandis que cbacune des trois autres présente deux variations et deux permanences. ■y. Lorsque dans F équation f{x) == o^ on change x en — ar, les racines ne font que changer de signe. En eJflfet ; soit

/(a:)=:(x— fl) {x--b) (jc— c)...(ar-f- û^) {x + b*) {x+c^)... on a .

et en changeant les signes de tous les facteurs binômes , il Tient

f{^x)=±(x+à)(x+b) {x+c)...ix—J) (ar— ô') (a:— c')...

On voit que les racines de /{x) ^ o e'tant

+ «> +^, +c>-> — «'» — ^', — c'j-««> celles de la transforme'e , /(r^ jr) = o , sont

Ce qui de'inontre le principe énoncé.

Remarque. Quand Inéquation f{x)^o est complète, l'équation f{ — ar) = o peut se déduire de f{x) = o, en changeant dans f(x) tous les signes des termes de rang pair à partir du premier terme; car lorsqu'on change x en -— j: , dans l'équation complète

suivant que m est un nombre pair ou impair , la transformée est

— ar'«+ar*'"' — ôx"*~'+cx*~^ — ...-j-rx^ — sx + t.s=: o ;

et en changeant tous les signes , on voit que cette dernière équation revient à

j:» — ûjc"»"» 4- ôa:"*"** — car*""' «j., , ^ — rx^ + sx — / = o.

S. La règle des signes de Desgàrtes , pour être exacte , doit s'énoncer de la manière suivante : i®. Dans toute équation, complète ou incomplète , f{x) = o, ordonnée suivant les puiS' sances décroissantes de V inconnue x , le nombre des racines réelles positives est au plus égal au nombre des variations; a®, lorsque l'équation est complète, le nombre des racines réelles négatives est au plus égal au nombre des permanences; 3®. quand l'équation est incomplète, /e. nombre des racines

réelles négatives ne saurait surpasser le plus petit nombre des permanences que Von peut obtenir en rétablissant les termes qui manquent et en les ajfectant successivement des foejjîciens -^ o, — o, comme il a été indiqué (n® 6); 4*» ^^fi^» lors-» qu'une équation complète a toutes ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre des variations , et te nombre des racines négatives est égal au nombre des perma-^ nences.

Pour démontrer le principe énoncé (i**) , nous ferons voir d'abord^ que lorsqu'un polynôme, qui ne contient qu'une seule lettre x, est ordonné suivant les puissances décroissantes de cette lettre, si l'on multiplie ce polynôme par nn, binôme x — a^ dans lequel a représente un nombre positif^ le produit contiendra au moins uae variation de^ plus que le polynôme qu'on a multiplié.

Par exemple , soit le polynôme

x^ -f- bx^ — ex^ — *- dx^ — ex'^ -^fx^ + é'^ + ^• En le multipliant par x — a , le produit sera

a? + bx"^ — cx^ — dxr* — ea^ -4- Jx^ -h gx^ + ^^

— ax^ -— abx^ + acj? + adx^ + aex^ — afx'^'-' agx — ah •

Si l'on suppose que-, ^^ b^c^d^ e^f^ g\,hj sont des nombres positifs y les trois premiers termes du multiplicande ofïi^iront un seule variation depuis le i**" terme a?7, qui est censé affecté du signe + , jusqu'au 3* terme — cx!^ ; les trois termes correspondans, -f- a:^, + (fr — a) a:% — (o + ab)x^y du produity présenteront toujours une variation , car — (c.+ ab) est nécessairement négatif. Le multiplicande n'offrant qu'une variation depuis le S*' terme — ca? jusqu'au ô*" terme -}-^*, le 5* terme — ex^ est nécessairement négatif;, le produit de — *ej?^ par — a est donc positif; il «suit de là que les termes correspondans du produit présentent au moins une variation , depuis le 3* terme — (c + ab)x^y jusqu'au fr* terme + (/+ ^c)x^. Enfin, le multiplicande n'offrant aucune vaxidtiqn depuis le 6* terme -{r/x^* jusqu'au dernier terme h, lei.

termes correspondatis du produit admettent au moins une va-^ riation depuis le 6' terme + (^ -f- ^e) x^ jusqu'au dei^nier terme -— ah. Le produit contient donc au moins une variation, de plus que le multiplicande.. Les mêmes propri^és ai^ ]f aient lieu y ai quelques-uns des cœfficiens b^c, d^e^fj g^hy étaient nuls.

£n général y soit un polynôme M de la forme

+...HFGx*^±:Ha:'^-'±:...±: Sx ± T ,

ordonné suivant les puissances décroissantes de x, et dans lequel les coefficiens A ^B,..., C, D,..., G, H,..., S, T , sont des nombres positifs. Tous les termes, indiqués par des points,

compris entre x^ et + Ax* sont positifs ; tous les termes compris entre Ax* et Dx^""' sont négatifs ; et ainsi de suite. Enfin , les termes qi Gx ^ ±: Hx*"""* , sont de signes contraires,

et tous les termes suivans conservent le signe de ifc Hx'~"' ;. e'est-à-dire que les signes supérieurs se correspondent , ainsi que les signes inférieurs. Les termes du polynôme M offrent

donc une seule variation depuis x"* jusqu*à — Bx*"*"^ ; puis

une seule variation depuis — Bx*""' jusqu'à -f- Dx^"~* ; et

ainsi de suite. Enfin , les termes qui suivent r;: Gx^ n*ofFrent aucune variation. Chaque série de termes de mêmes signes peut d'ailleurs se réduire à un seul terme. Si l'on multiplie le polynôme M par x — ^ a , le produit ordonné sera

*— .••— aAjc -f-...-f" flCjt — . . . it tf Gap ;:fi . • . Ip <iSx ^ dX .

Gela posé : le multiplicande M n'a qu^une seule variation depuis le !•' terme x"* jusqu'au terme négatif — Bx*"~' ; et le coefficient — (B + ak) de x* dans le produit M (x — a) étant négatif, les termes correspondans de ce produit offrent au

moins une variation depuis x"»*^' jusqu'à — * (B-f- «A)x*, Par

(7) yne raison semblable, le multiplicande M n'ayant qu'une va*

nation depui» — Bj?*"*' Jusqu'à + D^^"""' , le terme —Ca:^ qui précède Dx^^^ esf nécessairement négatif; le produit de ce ternie par — a est donc positif; il suit de là que les termes correspondants du produit M (^ — a) présentent

au moins une variation depuis le terme négatif — (B + «A) a:*

jusqu'au terme positif + (D + aC) x , Et ainsi de suite. Enfin , la dernière série des termes du multiplicande ne présen-*

tantaucunevariation, depuis dzHa:'^-' jusqu'à ±t, le$

termes correspondans du produit M{x — a) présentent au

moins une variation depuis ±: (H + ûG) x^ jusqu'à zç: «T. Le produit M(x — a) contient donc au moins une variation de plus que le multiplicande M. •

Cette dernière propriété conduit au principe énoncé (i*). En effet, si l'on représente par ^{x) le produit de tous les facteurs du i*' degré correspondans aux racines imaginaires et aux racines réelles négatives de l'équation (i). . . f{x) = o, le I*' membre f{x) de cette équation sera le produit de ^ (x) par tous les facteurs x — «, x — b^ x — c, ., . , correspondans aux racines réelles positives j^ a, b^ c,..., de l'équation (i). Or, d'après ce qui vient d'être démontré , si ^ (x) admet y va ridtions, le produit de p{x) par x — a contiendra au moins y -f- 1 variations ; le produit de {x — a)^ {x) par x •— ô contiendra donc au moins y -4* ^ variations ; et ainsi de suite. Par conséquent, si l'équation (i) admet p racines réelles positives û, ^, c,,..., le produit fipc)^ de <p{x) par (ar — a) (x — b){x — c), ., , contiendra au moins y+p variations. De sorte qu^ Y désignant le nombre des variations de yix) , on aura V > y +p , ou V = y -f- /?.

Si y n'e»t pad nul , p sera moindre que Y;et si ysno, on aura /> < V ou /> t= V* Le nombre p des racines réelles positives de l'équation f(x) = o est donc au plus égal au nombre V dca variation» du piremiei* membre f(x}. Ce qui démontre le principe énoncé (i^).

(8) . Ainsi , Téquation complète ar*—- 3a!r^+ r4^ +6a:— i8=o, ayant trois variations , ne saurait admettre au plus que trois ri^ines réelles positives ; tandis qu^ l'équation . incomplète x'^'-» ^x 4" 6 := o , ayant deux variations , ne peut admettre plus de deux racines réelles positives.

a®. Lorsque V équation f{x) = o est complète, le nombre -de ses racine^ réelles négatives est au plus égal au nombre des permanences de f(x). En effet , les racines- réelles négatives de f(x) = o , sont les racines réelles positives de Féquadon y*(— - x) =: o qui résulte* du changement de o: en — x dans y*(x)r=o, (n** 7) ; l'équation proposée étant complète, l'équation /( — x) = o peut se déduire de f(x) s= ô , en chan-. gcant y dans /(x) = o , les signes des termes de rang pair à. partir du i" terme (n^ 7), et par ce changement d^ signes , le& variations deviennent des permanences y tandis que les permanences deviennent des variations (n** a). Par conséquent , siy*(x) contient P permanences , /( — x) aura P variations ; et d'a-^ près (1") y. Téquation /( — x) = o admettra au plus P racines, réelles positives ; l'équation f{x) = o aura donc au plua P racines réelles négatives. Ce qui démontre le principe énoncé (2*).

Ainsi , l'équation complète aK— 3a^ -f- 1 4x» +6x — 18 = 0^ n'ayant qu'une permanence, ne saurait admettre plus d'une racine réelle négative.

Reuarqde. Une équation complète, qui n*a que des variations, ne peut donc admettre aucune racine réelle négative.

3*. Lorsque Féquation f(x) = o est incomplète, le nombre des racines réelles négatives peut surpasser celui des perma^ nences; mais il résulte de (2®) que si Von rétablit tous les tenues qui manquent, en leur donnant le coefficient dzo, le nombre des racines réelles négatives ne pourra jamais surpaS'* série plus petit nombre des permanences que l'on obtiendra en donnant successivement les signes -^et — aux termes affectés du coefficient zéro. Ce qui démontre le principe énoncé {^%

(9) Exemple. Soit l'ëquatiou incomplète x' — or + i = o. . Cette équation n'a pas de permanence , et cependant elle admet nécessairement une racine réelle négative , puisqu'elle est de degré impair, et que son dernier terme est positif. Si l'on rétablit les termes qui manquent , en leur donnant ±: o pour coefficient, on. obtiendra l'équation complète

x^ di ojr^ifc oar* ±: 03^ rfc oa:^ di oar* — a: + i =5= o,

et il est facile de voir que de quelque manière qu'on détermine les doubles ^gnès, cette transformée ne saurait admettre moins d'une permanence. L'équation proposée ne peut donc pas admettre plus d'une racine réelle négative (2°). Mais l'équation a:' — x -f- 1 = o n'ayant que deux variations , ne saurait admettre plus de deux racines réelles positives (i®). Cette équation admet donc au moins quatre racines imaginaires.

4*** Enfin, lorsqu'une équation complète x^±: ûx""""* +ctc =0, a toutes ses racines réelles, le nombre, p, des racines positives est égal au nombre V des variations, et le nombre , n, des racines négatives est égal au nombre P des permanences. En effet : l'équation étant complète , Y + P est égal au degré m de cette équation (n^ 5) ; et les m racines étant réelles , on a p + n=:m. Donc Y + F=±p -^ n; d'où V — Pt=^ — P*

Or, d'après (1*) , p ne peut surpasser V. D'aillettVs,,sî /? était moindre que V, la relation V — p=n — P' donnerait /i>P ; le nombre n des racines réelles négatives, serait donc plus grand que le nombre P des permanences ^ ce c(ui est contraire à ce qui a été démontré (2*). On a donc jp = Y, et par suite h r= P. Ce qui démontre la propriété énoncée (4^) .

Par exemple, soit l'équation complète

xi — 3a:^ — ja:* -f- 27^ — 18 = o.

Cette équation , dont toutes les racines sont réelles, présentant trois variations et une permanence, on est certain qu'elle a trois racines positives et une racine négative. Ces racines sont ^i, + 2, +3 et — 3. ,

9* Le nombre des racines réelles négative^ de l'équation

V ( lO )

incomplète f{x) = o, est au plus égal au nombre des vanotions de F équation f{ — «) = o que Von obtient par le changement de x en ^^x dans f{x) ; car les racines réelles négatÎTes de /(x) = o , sont les racines réelles positives de jr(— a:)ïSso (u? 7), et d'après le principe du n® 8 (i®), le nombre de ces racines est au plus e'gal aa nombre des variations de f( — x) = o.

Remarque. Lorsqu'on voudra découvrir combien une équation incomplète peut admettre au plus de racines réelles négatives, on devra faire usage du principe précédent, parce qu'il est plus facile à appliquer que celui du n° B (3^).

Exemple. Soit f{x)=:x^ — x+i ; on a y(— x)= — x^+x-^-i ; et comme /( — x) n'a qu'une variation , Téquation X(x) = o ne saurait admettre plus d'une racine réelle négative. Ce qui s'accorde avec le résultat obtenu (n® 8,3°).

10. Les propriétés précédentes fournissent deux méthodes pour découvrir si une équation incomplète du m'^"' degré, f{x) = o , admet des racines imaginaires,

i'* Méthode. On change x qh — x dans f{x) ; si les polynômes f{x) , y (— x) , admettent respectivement V et V variations, l'équation f{x) = o contiendra au plus Y racines réelles positives (n** 8, 1°) et V racines réelles négatives (n^g); de sorte qu'il y aura au plus V -(- V racines réelles. L'équation f{x) = o admettra donc au moins m — (V -l- V) racines imaginaires,

I*' Exemple. Soit f{x) = j:^ — :i: «f i ; on a V = 2 ,

/(a:)s= — x^ + ar+i, V'=i.

Par conséquent , l'équation f{x) = o admet au plus deux racines réelles positives , et une racine réelle négative ; elle a donc au moiâs quatre racines imaginaires.

* a* Exemple. Soit f{x)=x*'' — :r* — i ; on a V = i ,

f{—x) = x'° + afi^î, \'=ii.

Par conséquent , l'équation f{x) = o admet au plus deux racines réelles qui sont de signes contraires , et elle a au moins-