II

huit raciale imaginaires. Mais, cette e'quation de degré pair ayant son dernier terme négfatif y admet au moins deux racines re'elles ; elle a donc huit racines imaginaires. 3« Exemple. Soient les équations binômes

a:**'*'»— 1=0, a:"— 1=0, j:'*»-+"+i=6 , a:*'*-f-i=:o. £n y changeant le signe de x^ elles deviennent

i-|.a«-«-i — 1=0, x'" — ï=o, — or»»-*-* 4-1=0, x'"+i = o.

Par cons^équent^ la 1'* e'quation ne peut avoir qu'une seule racine réelle, et cette racine est positive; la a* équation ne peut avoir que deux racines réelles, l'une positive, l'autre négative ; la 3^ équation ne peut avoir qu'une racine réelle , et cette racine est négative ; enfin la 4* équation n'a aucune racine réelle.

Remarque. Quand l'équation f{x) = o tst complète, lé nombre Y des variations ajouté au nombre P des permanences donne une somme égale au degré m de f{x) , et /"(-^ a?) a P variations ; donc V = P et m — (V 4. V) =. o. On ne peut donc pas en conclure que f{x) = o admet des racines imaginaires.

2® Méthode. Soit l'équation incomplète du. m*'*"' degré f{x) = o , qui admet V variations. On rétablit tons leé teitnes qui manquent en leur donnant rh o pour coefficient '; cette équation , ainsi complétée , admet au moins Y variations (n^3). On choisit ceux des doubles signes qui fournissent le pins grand nombre possible de- variations ; si ce maximum du nombre des variations est Y4*^> réquation f(âif) s=z6 €idmettra au moins i" racines imaginaires, *

En effet , l'équation proposée f{x) = o, qui a V variations^ ne peut admettre plus de Y racines réelles positives (li" 8, r**) j{ mais' lorsqu'on a disposé des doubles signes de manière que l'équation complétée renferme Y -4* ^ variations , le nonibre des permanences devenant m — (Y -f- ^)y réquàtibti ne pent «dm^ttre plus de m — (Y+ i) racines réelles négatÎTes (n^ff^ a*) ; le nombre total des racines réelles ne peut donc pas ètiie plu&

grand que V + m— (V-4-/)ou que m — #"; le nombre des xacines imaginaires ne peut donc pas être plus petit que i". Ce qui démontre le principe énoncé.

On voit que le nombre des racines imaginaires if une équa^ tion incomplète f{x) :^ o est au moins égal à la différence ^, entre le nombre V des variations de f{x), et le plus grand nombre V + ^ ^fe variations dont f{x) est susceptible, en ré^ teUf lissant les termes qui manquent et en les affectant successivement des coejfficiens «f- o , — o.

I*' Exemple. Soit^/(i:) =j:'' — ar+i; on a V = 2;

et en rétablissant les termes qui manquent , de manière à ob« tenir le plus grand nombre possible de variations , l'équation

résultante x' -^ ox^ -f- ooc^ — ox^ + oa:^— oo:' — a: + 1= o ,

contient six variations ; l'équation proposée admet donc au moins 6 — 2 ou quatre racines imaginaires.

2" EXEMPLE. Soit y(jr) = x*° — x^— 1=0. On a V = i. L'équation équivalente jf «°±: oxl^ài oa^± ox^±:Q3fi — ar^it ox^±iox^±ox^±ox — 1 =0 ,

ne pouvant pas admettre plus de neuf variations, on a V + ^=9. Donc ^s= 8. L'é(|uation y(a:) = o, a donc au moins huit racines imaginaires.

La i^' méthode a conduit aux mêmes résultats (pagesioeti i).

II. En général, lorsqu'à l'aide des doubles signes qu'on peut assigner aux termes affectés du coefficient zho, on ob-> tient deux valeurs différentes V, V", du nombre des variai . tionSy r équation admet au moins V — V racines imaginaires.

Ce principe conduit aux propriétés suivantes :

1**. Lorsqu'il ne manque qu'un seul terme entre deux termes

consécutifs de signes contraires , on ne peut pas en conclure

que Véquation admet des racines imaginaires; car quel que

soit le signe qu'on donne au coefficient ±: o du terme qui

( i3 ) flanquait , les trois termes qui en résultent , présentent toujours une permanence et une variation.

2*. Lorsqu'il manque un ou deux termes entre deux termes de même signe, V équation admet au moins deux racines imaginaires^ car on peut toujours disposer des signes des termes a^ffectés du coefficient ih o, de manière que le nombre des variations augmente de deux unités.

Par exemple, s'il maoque un seul terme entre les deux

termes positifs + ax* , -f bx^'^^ , les trois termes

-+• ax* ih ox* "" ' + ix* "" * n'ofiFriront aucune variation , si l'on prend le signe supérieur ; et ils présenteront deux variations , en prenant le signe inférieur.

S'il manque deux termes entre les termes positifs -f- ax*^,

+ ia:*""^, les quatre termes + ax^àzox^^^it ox*'*^+ôj:*~ ^ ne présenteront aucune variation en prenant tous les signes supérieurs ; et de quelque autre manière qu'on dispose des doubles signes , il y aura deux variations.

Ainsi , lorsque p est positif, chacune des équations incomplètes ar"* + px"»-"* -|- etc. =1:0, x^ + pûc^"^ + etc. = 0, admet au moins deux racines imaginaires.

3^, On prouvera d'une manière absolument semblable , que R désignant un nombre entier positif, s'il manque 2/1 ou 2/1 -f- I fermes entre deux termes de signes contraires, réqua-» tion admet au moins 2n racines imaginaires, et que s'il manque 2n -f" i om 2/1 + 2 termes entre deux termes de même signe, l'équation admet au moins 271 -|. 2 racines ima^ ginçdres,

1" Exemple. Soit f{x) = x^ — a: + '• On a 2/1 + i = 5, 271 = 4* L'équation f{pc) = o admet donc au moins quatre racines imaginaires. Ce qui s'accorde avec le résultat obtenu par les deux méthodes du n" 10(1" exemple).

2* Exemple, Soit y(a:) = ar*° — x^ — i. Il manque quatre tenues entre + x'® et — x* \ l'équation f{pc) = o admet donc au moins quatre racines imaginaires. Mais, il manque en outre quatre autres termes entre — a:^ et — 1 • l'équation contîeot

doncau moini quaCreautres racines imaginaires. Il y a donc an moins huit racines imaginaires. Ce qui s'accorde avec le résultat obtenu par les deux méthodes du n® lo {li!^ exemple), 3* Exemple. Soient les équations binômes (i)...x**"*-' — 1=0^

Il manque a/i termes entre + x'**' et — i ; l'équation (i) a donc au moins 2/t racines imaginaires.

Il manqua 2/1 — i termes entre x** et — i ; l'équation (2) a donc au moins an — 2 racines imaginaires.

Il manque 2» termes entre x**"*"* et -f- i ; l'équation (3) a donc au moins 2n racines imaginaires.

Enfin , il manque un — i termes entre x'» et -f- 1 ; l'équa. tion (4) a donc au moins 2/t racines imaginaires.

Ces résultats s'accordent avec ceux qui ont été obtenus par la i*" méthode du n' lo ( 3* exemple),

12. Lorsque tous les termes qui manquent dans une équa<tion sont compris constamment entre deux termes de signes contraires dans lesquels les exposans de x ne différent que de deux unités , le nombre des variations reste le même , quels que soient les signes qu'on assigne aux termes que l'on rétablit avec le coefficient ib o (n® 11, i®) , et par suite, les méthodes précédentes ne peuvent pas faire connaître si l'équation donnée a des racines imaginaires. Dans tous les entres cas, les méthodes' des n** 10 et 11 font découvrir combien l'équation incomplète admet au moins de racines imaginaires.

i3. Pour déterminer combien une équation complète (i)... x** + û^"*"** + ^^"**** + etc. = o , a au moins de ra-^ cines imaginaires, on fait disparaître son second terme' en

posant x-^j^— — ; la transformée est

(2). . • r» + {6 ^ ^^^— ^} ^"-» + etc. = o.

Chacune des équations (t) et (2), admettant le même nombre de racines réelles , il suffira de déterminer par l'une quelconque des méthodes précédentes , combien l'éqaa-

( «5) tion (2) , qui est incomplète , admet au moins de racines imaginaires.

Lorsque le coefficient de j-"»—* est positif, ce qui exige que^^ soit positif y l'équation (2) a au moins deux racines imagi- ;iaires(n^ ii, 2<*).

Par exemple , soit l'équation

en faisant x i=j' — i , la transformée sera ^+2J"* — 77'+3=: o; l'équation (3) a dobc au moins deux racines imaginaires. D'ailleurs, l'équation (3) ayant son dernier terme négatif, a au moins deux racines réelles de signes contraires ; on est donc certain que cette équation a deux racines réelles de signes contraires et deux racines imaginaires.

Lorsque l'équation (2) se trouve dans le cas indiqué (n** 12), les méthodes que nous avons exposées ne peuvent pas faire connaître si l'équation (i) a des racines imaginaires.

§ IL Propriétés des facteurs premiers. Théorie du

plus grand commun disnseur.

14. Lorsque nous parlerons d'uxie.quajntijfé.e|n^zère^ il s'agira toujours d'un nombre entier, ou d'up ^ glynome rationnel et entier de la forme ax^ -f" àx'^^^-j- ca:""*+. ,^-f- rx^-j- sx + 1^ dans lequel les exposans seront des nombres entiers positifs, et tous les coefficiens seront des nombres entiers positifs ou négatifs. Le degré d'une quantité littérale sera exprimé par la plus forte somme des exposans des lettres contenues dans ses différens termes. Ainsi, le trinôme ^b^x^ — - /^b^x^ + iT^, est du 9* degré; il est du 7* degré par rapport à a: et du 5" degré par rapport à b. Le monôme 'ja^b^x^ est du 9* degré.

Quand nous dirons qu'une quantité littérale entière , monôme ou polynôme , est plus grande qu'une autre , nous sous-entendrons que la première quantité est d'un degré plus élevé que la seconde. Par exemple , le polynôme a*6* -— 5ab ^ j est plus grand que a"^ --^ 2iï^ + 4^* -^-3,

( i6) car le i** polynôme est du 4* degré, tandis que le a* n'est que du 3* degré. Ces deux polynômes sont du même degré par rapport à b*

Lorsque nous dirons qu'une quantité entière A est dii^isible par une quantité entière B , ou ce qui revient au même, que B divise A , il faudra entendre que la division de A par B donne un quotieat entier Q et un reste nul ; de sorte que A=BQ,

Oi> dit qu'une quantité est première, lorsqu'elle n'est divisible par aucune quantité rationnelle et entière autre qu'elle ' même et l'unité. Telles sont les quantités ^,a* — 6,j:-— i.

Il suit de cette définition que deux quantités premières ne sont jamais divisibles exactement l'une par l'autre.

Deux quantités sont dites premières entre elles, lorsqu'il n'existe aucune quantité entière , autre que l'unité , qui les divise l'une et l'autre. Ainsi, les quantités Sab^ l^^fy sont premières entre elles ; on dit aussi que Sab est premier avec '}def. Deux quantités premières sont toujours premières entré elles.

i5. Lorsqu'une quantité première P ne divise pas une quan» tité entière A , on peut en conclure que P est premier avec A/ car s'il existait un facteur commun à ces deux quantités , ce facteur différerait de P et diviserait P ; ce qui ne saurait avoir lieu , puisqu'on suppose que P est premier.

16. Théorème. Une quantité première P, (pii ne divise au^cun des facteurs éCun produit AB^ de deux quantités entières A, B, ne saurait diviser ce produit.

Cette proprie' té a été démontrée dans l'Arithmétique pour le cas où A , B , P > sont des nombres entiers. Considérons les cas où ces quantités ne contiennent pas plus d'une lettre ; il y en aura quatre à examiner.

Premier cas. A ou B contient la lettre x, P est numérique»

Soit kz=zax* + bx + etc. ;

fljb^ etc. y étant des nombres entiers, ainsi que «| /8, etc.

En multipliant A par B , on a AB = Box* -+> Bbar -f- etc.

Pour que le produit AB fut divisible par le nombre Py il faudrait que les coefficiens des diverses puissances de x^ dans ce produit, fussent divisibles par P (n® 27, 4^). D'après l'hypothèse, P est un nombre premier qui ne divise, ni A ni B. Puisque ce nombre ne divise^point A , il ne divise pas tous les coefficiens aj by etc. de ce polynôme ; donc il ne doit pas diviser tous les produits BajBb y etc. ; donc il ne divise point AB.

Second cas. A et B contiennent ±j V est numérique,

lïommons A' l'ensemble de toupies termes de A , dont les coefficiens sont des multiples de P, et A" Tensemble de tous les autres termes : on pourra écrire A = A' -f- A*. Décomposons B de la même manière , et soit B =:B' -f- B' • ^^ Aura

AB = (A' + A'')(B' + B") = A'B' + A'B" + ATB' -+, k^B".

Les trois premières parties de ce produit sont divisibles par P; ety pour démontrer que AB n'est pas divisible par P, il suffit de faire voir que la' dernière partie AlB' ne Test point.

Soient ax*^ et bar les termes de A'' et de B', dans lesquels

la lettre x.est au plus haut exposant , le terme abx fera partie du produit A'B^, et ne se réduira avec aucun autre. Pour que A'^B" fut divisible par le nombre P, il faudrait que les coefficiens de tous les termes de ce produit le fussent ; donc ^ devrait se diviser par P. Or, P est un nombre premier qui ne divise aucun des coefficiens de A'' et B'^ ; donc il ne divise ni a ni b; donc il ne divise pas ab ; donc il ne divise pas A'^'B'' ; donc il ne divisé pas le produit AB.

Troisième cas. A ou B contient x^ et P contient aussi x.

Supposons que ce soit le facteur A qui renferme x. Si la division de AB par P donnait un quotient entier Q , on aurait AB = PQ ; et, en représentant par F, F', F*. • . . , les facteurs premiers du nombre B , cette égalité pourrait s'écrire ainsi :

AFrr. . . = PQ.

Le premier membre e'tant divisible par F, le produit PQ doii l'otre aussi ; mais- Pest une quantité première qui contieiat x ; donc elle n^est divisible par aucun nombre ; donc Q est divi*^ stUe par F, sans quoi le produit PQ ne pourrait pas être dtvipar F(i^ ou '^ eéis). Soit Q' le quotient de Q par F^ on

AFF\..fi=PQ'.

On prourem de la même manière que Q' doit être divisible par F' ; et I eu nommant Q" le quotient ^ on aura