NP = A'Q' + A

et de là on tire , en multipliant par B et en divisant par P ,

donc la diviâbilitë de A'B par P entraînerait celle de A'B. Remarquons d'ailleurs que A' ne peut être zéro ; car, si cela était, il faudrait que NP fût divisible par chaque fACteur algébrique premier de A' \ ce qui est impossible (3* cas)*

Divisons encore P par A" : nommons N' le nombre par lequel il faut multiplier le dividende, nommons Q' le quo^ tient et A*^ le reste , il viendra ' .

NT == A"Q" + A*' y d'où N'B = ^ Q" + ^ ;

donc A'^ serait aussi divisible par P.

En continuant ainsi > Ton doit arriver à un reste numérique A, , et le produit AiB devrait encore se diviser par P ; ce qui est impossible (3^ cas) ; donc le produit AB ;Q*est pas divisible par P.

Les quatre cas que nous venons d'examiner sont les seuls qui soient à considérer lorsque les trois quantités A , B, P, ne sont pas numériques à la fois , et qu'elles ne contiennent pas plus d'une lettre. Passons aux cas où il y a deux lettres x ttj dans l'une de ces quantités, ou dans deux d'entré elles, ou dans toutes les trois. Ces cas sont aussi au nombre de quatre , savoir t

Lor9qu*vn seul deifùcteurs AetB ccmtieni la kt»e x, ei que V nela contieni poini^

Lorsque les deux facteurs A el B coniiennem la lettre x, ei que ¥ ne la contient point.

Lorsqu'un seul des facteurs A e< B contient la lettre x, et que P la contient aussi.

, Enfin, lorsque les deux facteurs A. et B contiennent la lettre x,et que P la contient aussi.

Les démonstriitions sont semblables à celles qui viennent d'être exposées , et, ponr cette raison , nous nous dispenserons de les Rapporter. La seule différence consiste en ce que les quantités qui, précédemment , étaient supposées numériques, peuvent être ici des quantités algébiic^ues dépendantes de la lettre j*.

De même que les cas où les quantités A, B, P, ne renferment pas plus d'une seule lettre , servent à démonti^r la ftàr position pour les cas où ces quantités peuvent contenir deux lettres ; de même ceux"-ci serviront à s'élever au cas où ces quantités pourraient contenir trois lettres ; et ainsi de suite, quel que soit le nombre des lettres. Le théorème général doit donc être regardé comme démontré.

Nota. La démonstration dû n* i6 est due à M; Lefebure de Founy, examiuateur pour l'admission à l'Ëcole Polytechnique.

17. I®. Une quantité première P, qui ne divise aucun des facteurs entiers A,B> C^ D..., d*un produit ABGD, ..y ne saurait diviser ce produit. Car, P ne divisant ni A ni B , il résulte du principe du n*^ 16 , que P ne divisera pas le produit AB; par une raison semblable, P ne divisant ni AB ni G, ne divise pas le produit ABC de AB par G ; et ainsi de suite.

2^. Toute quantité première qui divise le produit de plu^^ s feurs facteurs entiers, divise nécessaiiement F un des facteurs de ce produit. Gel^ résulte de (1®).

Toute quantité première qui divise «"* , divise donc «.

3®. Une quantité entière n^est décomposable que dune seule manière en facteurs premiers. C'est-à-dire , que de quelque manière qu'on décompose une quantité en facteurs premiers.

(ai )

mi retroviTera toujours les mêmes facteurs affectés des mêmes exppsans. Gela se réduit à faire voir que si deux produits ABGD . • . , abcd* • . ^ de facteurs premiers, sont égaux , on aura

nécessairement A ?=:a, Bs=6y G3=:Cy etc.

Or, ABGD. • • étant divisible par A, le produit abcd. • • sera nécessairement divisible par A ; A divisera donc l'un des fac« teurs premiers ajbj c^ d...j (a®) ; A sera donc égal à Fun de ces facteurs , au facteur a par exemple ; Tégalité ABCD. • . = abcd, . .*, deviendra ABCD. . . = kbcd. . . , et en divisant les deux membres de cette dernière égalité par

ky on aura BCD. . . = bcd^.^

De inême , BGD . . . étant divisible par B , le produit bcd. . . sera aussi . divisible par B ; B divisera donc l'un des facteurs premiers bjCjd»,,;B sera donc égal à l'un de ces facteurs, au facteur b par exemple. Et ainsi de suite.

Ces raisonneniens conviennent évidemment au cas où il y aurait des facteurs égaux. Par exemple , si B=: A , il faudra que b = a. Et en général, si ABCD. . . , renferme n facteurs premiers égaux à « , il faudra que i^cd, . . , contienne également 71 facteurs égaux à «.

Ce qui démontre le principe énoncé (3^).

4^ Lorsqu'une quantité G, quîdiyise le produit AB de deux facteurs entiers A, B, est première atfec le facteur A , cette quantité C dis^ise nécessairemen^f autre facteur B.

Soient a, bj c, ^,. . ., les facteurs premiers (égaux ou inégaux) de G; de sort9 que C=iabcd. ... Il s'agit de prouver que B est le produit de abcd. • . , par une quantité entière. Or, le quotient de AB par G est une quantité entière Q ; on a donc

(i) AB=CQ = a*cA.. Q.

D'après cette relation , a divise AB ; d'ailleurs G étant premier ayec A, le facteur premier a de C ne saurait diyiser A ; a divise donc B(2°); si B' désigne le quotient, on aura B = aB^ Substituant cette valeur de B dans (i) et divisant le&

deux membres par a y on trouvera (2) . . . AB' = bcd. . Q.

( aa )

Oa déduira de même <le la relation (a), que b divise B' ; de sorte que B' = bW^ d'où B ^s'^ibB". Si l'on substitue la Taleur ^B'' de B', dans (a) j et si l'on diWse les deux membres par b »

il viendra (3) . . . AB" = crf. . .Q.

On déduira de même , de (3) , que c divise B* ; de sorte que

B^^cB"; d'oii.B=ûècB*, et fS) donne (4)...AB''=i/...Q.

£n continuant ces décompositions, on parviendra à épu»-^ ser tous les &cteurs premiers (égaux où inégaux) de C« et Voni verra ainsi que B sera le produit de cbcd, \ . , par une quan-. tité entière. Ce qui démontre la propriété énoncée.

Par temple , si C:=abcy la relation (4) deviendra AB'ss^Qj et l'on aura B =iabcW = CB'' ; B sera donc divisible par G.

5^, Toute quantité A , PREMiÈas avec chacune deê quantités. B> G , Dy . • • y est aussi première avec le produit P des quan-^ tités B , G y D y . . . • car autrement , A et P leraient divisibles par une quantité première / ; ^ devrait donc diviser l'un des, fecteurs By G, D, • , . ^ du produit P(a*^) ; il existerait donc un facteur commun Centre A et l'une des quantités B, G^D, . . • ; A ne serait donc pas premier avec chacune des quantités B,., G/D, . . . ; ce qui est contre l'faypotbèse.

6**. I^orsquedeux quantités entihtes A, B, sont premières entre elles, deux puissances entières positives quelconques A"*^ B", de ces quantités, sont aussipremières entre elles. En eflFet, si ces puissances n'étaient pas premières entre elles ^ il existerait une quantité première t qui diviserait A"* et B" ; ^ divise* rait donc A et B (a^) ; ce qui ne saurait avoir lieu, puisque A et B sont supposés premiers entre eux.

7". Lorsqu'une quantité entière A est divisible par des quanr tités entières et, ff, y, . . ., qui sont premières entre elles deux à. deux, A est aussi divisible par le produit uSy, . . , de ces quantités. En effet, la division de A par « donnera un quotient exact A' qui sera entier; on aura A 3=«A^ Or, ^divise A ; Ç divise donc «A' ; et comme C est supposé premier avec a , il faut que Q divise A' (4°)' La division de A' par ff fournira un quotient exacl,

A' qnisfera eîitî^; on aura A'^CA*; d'où A=«fA*. La qiiatititë A est donc divisible par a£. Ml»8, y dt^îsô A; y di-« vise donc «ffA* ; y divise donc l'un des facteurs « , C, A" (i*) ; «t aymme y ne^«àarait diviser ni je , tit C ^ U faut t(iie y divise A"* ; û A* désigne le quotient, on awra A^'îat yA'' ; d'où Ask^À". la 4q[isantité A est donc divisible par«Cy« Et akuit de s«i«e.

8**. Lorsque de^ quantités «, C> y>..., étant premiires > entre €fié^ éeux à deux ^ une quùnUié eniihre À, est diiPtsiiùte par chacune des pmsiances entières positisfes t^, C*> y**,. . ., m est eéttain que A sera dinsible par te predmtt éf^^.,., de ces puissances ; car les quantités * , ^ , y 9 . • • 9 étant sup-posée!» premières entre elles deux à deux , les puissances «*", ff", y^, ..., sont aussi preliiières entre elles deux à deux (6*) ; et par suite A sera divisible par à^C'yf* , i , (7').

'9°. Lorsque des quantités entières A, B, G, I^,.*., sont premières a^ec chacune des quantités entières P, Q , R , S, .«, . , fe pr&dttii des puissances entières pesitipes d*Kn nombre ^u^ conque des quantités A > B , C , Dj . . . , eèt premier ûtfec ie pro^ ^mî des puissances entières positives ttan noimbre quelconque îles antres quantités P, Q, R, S,. . . .

Par exemple , A^B*C-* est premier avec P4Q* ^ car s'il existait un facteur premier J" commun à A^B*G^ et P*Q*,^a cfuantité première Jt diviserait l'un dés facteut^ A*, B*, O, et l'un des facteurs P*, Q^, (a'") ; supposons donc que /'divise B» et Q* ; # diviserait B et Q (2^) ; ce qui est impossible^ puisque B et Q sont premiers entre eux , par hypothèse.

10*. r/n disfiseur entier quelconque D dune quantité entière A, ne peut contenir que des facteurs premiers de El ; et ces Jfacîeurs ng sauraient entrer dans D à des puissances plus éh^ véesque dans A*

En effet; puisque D divise A, le quotient sera nne quantité entière A', et Ton aura A=DA'. Tout facteur premieriede D, divisant DA', devra diviser A ; « sera donc Tun dçs facteui^s premiers de A, Soient m etn, les plu^ forts exppsans de < dans A et D ; la division de A par a" donnera un quotient Q qui ne contiendra pas le facteur m ; on aura A = ^^'"Q. Or, 4"

dmse D; «* dhrisie donc ▲; «" divise donc «^; n ne peut donc pas surpasser m. Ce <qui démontre la propriété énoncée.

i8. Le jplus grand commun diviseur de plusieurs quantités entières y A, B> G,. . , monômes ou polynômes, est celui de tous les diviseurs communs à ces quantités, dont le degré €st le plus élevé et dont les coefficiens numériques, sont ,les plus grands. Ce plusgrand commun diviseur est généralement de la forme ND ; N désignant un nombre entier, et D désignant une quantité littérale entière qui n'est divisible par aucun nombre entier. Si les facteurs premiers' de N sont d^dyd\..^ les quantités A, B, C, • . . , proposée^ , n'admettront aucun diviseur commun d'un degré plus élevé que D ; mais elles seront divisibles par les quantités du même degré, D^ i/D, d'D, ifD,.. , 4^D, ^^D, ififD, . . . , dd!d"By . . . , ND; et comme le plus grand de tous ces diviseurs communs du degré le plus élevé, est ND, on dit par cette raison que ND est le plus grand commun diviseur des quantités A, B, C. . .

19. Il est facile de déduire des propriétés du n® 17 (3**, 8". et 10^), que le plus grand commun diviseur de plusieurs quantités entières , numériques ou littérales^ est le produit de tous lesfacteurs premiers communs à ces quantités , chacun de ces facteurs communs étant affecté du plus petit de ses expo-' sans dans les quantités données. En efifet, il résulte du piincipe du n° 17 (10**),. que tout diviseur D commun à des quantités entières A, B, C, . . . , ne peut contenir que des facteurs pre« miers , «,ff,y, • . . , communs à A, B , C^ . . . , et que ces facteurs ne sauraient entrer dans D , avec des exposans plus éler vés que dans A, B, C, . . . ; par conséquent, si les plus petits exposans de «f,ff,y,. • , dans A, B, C, . . , sont .m, ti,/?, . . , le diviseur commun D ne saurait être plus grand qae «&"* C^ y'^. . .; d'ailleurs cbacuue des quantités A , B, C,..., étant divisible par toutes les puissances et"*, C", y'', . . . , les quantités A , B, C, . . , sont nécessairement divisibles par le produit tt'^S'^yP,.: (n* 17, 8"), et ces quantités ne sont décomposables que d'une seule manière en facteurs premiers (n^ 17, S""). Le plus grand de tous les di-

viseurs communs à A, B, G, . • , est donc «*C^ y**..*.; ce qui démontre le principe énonce.

Quand nous parierons désormais du produit des facteurs communs à plusieurs quantités entières , nous sous-eutendrons toujours que ces facteurs sont premiers et qUllç sont affectés de leurs plus petits exposans dans ces .quantités.

20. Lorsqu'on ^divise des quantités par leur pfus grand commun dwiseur, les quoUens n'admettent aucun facteur commun, £n effet, si en divisant des. quantités entières A, B, G, ... y par leur plus grand commun diviseur IX, les quotiens A'9 B'y C, . . . , pouvaient admettre un iacteur commun /, la division des quantités A% B', C, . . . , par ^9 fournirait dés quotiens exacts A" , B' , G'' , • • . , qui seraient entiers ; on au~ rait,

A'=JA%B'=«%C'=:*C*... Or, A=:DA%B=DB',Cs=DG',...

Donc, A=D*A^B=Di^B^ C=DW% ....

Les quantités A,B,G, . . . , admettraient donc un commun diviseur DJ' plus grand que leur plus grand commun diviseur D ; ce qui est absurde.

21. Lorsqu*on sait trouver le plus grand commun diviseur y de deux quantités entières « ,ff , il est facile de déterminer la plus petite quantité f par laquelle on doit multiplier ûl pour que le produit eti" soit divisible par C En effet, la division de m et€ par y donnera des quotiens « ,C^, qtii seront premiers entre eux (n? 20), et Ton aura «=y/, €ssyC\ Si Ton désigne par M une quantité entière telle que «M soit divisible par C,

on aura -y- == ^^-37- = -=7- ; de sorte que C devra diviser /M ;

C yb' f ' ^

or C' est premier avec m ; il faut donc que C divise M (h° 1 7, 4^). L,a plus petite valeur, ^, du multiplicateur M demandé, est donc le quotient C de S par le plus grand commun diviseur y de A etÇ,

\^, Remarque. Le multiplicateur S' exprime le produit des facteurs de C qui n'entrent pas dans «.

aC RfeHABQDe. Leqnotùnk de teS^ parCesi égû/lau quotient m de A par y; car en fiiisant M=r^ les relations

-g-ae-^, «=r*ya, donnent -^s^tf =^ — .

3* Rekabqos. Quand Ji et C sont premiers entre enx, ^ est éigH àC; car ^ éevaat diviser «M, et C ëtalit prenkier avec a^il £uit qtte C dirâe M <ib* 17, 4^)« la plus petite valeor /" de M est donc C.

Ainsi : Pmtt trousser la pins petite quantité par laquelle il fmit multiplier une quantité m , pour que le produit soit divisi^ Me pmr une quantité donnée C, il suffit de chercher le plus gntnd cetMnun diviseur y de SLetC\ le quotient de S par y exprime le multiplicateur C demandé. Ce multiplicateur C ex^ prime le produit des facteurs de C qui iC entrent pas dans m; ei te quotient de aC par C peut s'obtenir en divisant m par y.

Par exemple , soient , a, = a^b^d^ , C = a?b^dn

Onaura.yaso^^if, ^^sb^nzssC^ -—=-/=- =a*rf'.

«a» Lorsqu^on sais trouper le plus grand commun diviseur de deux quantités , il est facile de déterminer la plus petite qwutntité divisible par des quantités données, A 1 B, € • « .

* En effet; la plus petite quantité divisible par A étant A, tm obtiendra la plus petite quantité divisible par A et par B, en cherchant la plus petite quantité ^ par laquelle il £sittt multiplier A pour que le produit A^ soit divisible par B. On vient de voir (n* 21) que J'est égal au quotient fi^ de B par le plus grand commun diviseur y dç A et B. La plus petite quan-^ tité divisible par A et par B est donc hff.

Poxu* obtenir la plus petite quantité divisible par A,B,€, il suffit de chercher la plus petite quantité y, par laquelle il faut multiplier AC^ pour que le produit Affi^ soit divisible par Ci On a vu (ft* ai) que ^ est égal au quotient C de Cpar Iç plus grand commun diviseur y' de AC' et G ; de sorte qiio

( a? ) la ptus .petite quantité divisible p&r A, par B et par G est

àffC" ; et ainsi de suite.

23. Lorsique les facteurs premiers de plusietirs qtiantités sont en évidence (ce qui a toujours lieu -pour des- monômes), le principe du n^ 19 sert à déterminer le plus grand commun diviseur de ces quantités.

Ainsi , le ptus grand commun diviseur des monômes cPb^c^y i^b^d*f a'^b^c^dy est a^b^j et le plus grand commuù diviseur ^ntre (a: — r i)* (x + 3) (t+ 0* et (x 4. 3) (a: + 0' (^ — 3) est (x + 3){x+ i)\ ' .

24» ^^ p/i/J grand commun diviseur de différens monômes s'obtient en multipliant le plus grand commun diviseur des coefficiens numériques des monômes,, par le plus grand commun diviseur littéral de ces monômes. On a vu dans TArithmëiîque comment on détermine le plus grand commun divi-* seur des coefficiens numériques; et le plus grand commun diviseur littéral des monômes est toujours en évidence.

Ainsi , pour déterminer le plus gran4 commun diviseur des monômes 48a^*V, iÇa^ô*^», xSa^b^t^d, on cherche d'abgrd le plus grand commun diviseur des coefficiens 48, i9» iS, qui est 3 ; et comme le plus grand commun diviseur des monômes algébriques a^éV, a^b^d'y a^'b^c'^d, est a'^b^, on voit que le plus grand commun diviseur demandé est Sa^b^.

25. Le plus grand commun diviseur des différens monômes qui composent un polynôme, est ce qu'on nomme le plus grand commun diviseur monôme de ce polynôme. Par exemple y le plus grand commuii diviseur monôme de Ji8(^lr^c*—i8a^b^d *+ 1 Sa'b^c^d est Sa'^b^; de sorte qu'en divisant ce polynôme par 3a*ô% lé quotient i6<ic' — Ga^W' + SAc^^ n'admet aucun diviseur monôme.

26. Pour déterminer le plus' grand commun dis^iseur monôme M de différens poljrnomes P', P", P*^ . 1 . , on cherche les plus grands communs diviseurs monômes M', M?, M*, . . . , de ces polynômes ; le plus grand commun diviseur de M', M", M%. . . , çst le plus grand commun divisent monôme M demandé.

; %f. La recherche du pbu grand commun diviêeur çmre dtê pcfynomes, repose sur les principes suirans :

i^. Le plus grand commun diviseur de deux quantités ne change pas, lorsqu'on multiplie ou qu*on diwe tune d^ elles par une quantité qui n'a aucun /acteur commun as^ec F autre. Car tous les facteurs premiers communs restent les mêmes » et le plus grand commun diviseur est le produit de tous ces de* teurs(n^i9).

Par conséquent 9 lorsque P est premier avec B, le plua grand commun diviseur de A et B est le même que celui de AP et B.

Par exemple y mn étant premier avec a^b^<?dy\e plus grand commun diviseur de cfb^c et à^b^c^d «st le même que celui de •a^b^cmn et a*b^c*d; ce commun diviseur est a*b*c.

a^. Quand on aperçoit un facteur commun à plusieurs quantités, on peut simplifier la recherche de leur plus gnmd commun diviseur. En effet, soient A=:AT), B=B'D, C=C'D...

Le plus grand diviseur commun aux quantités A , B, C,..., étant le produit de tous leurs facteurs communs (n® 19), on obtiendra ce plus grand commun diviseur en multipliant le. focteur doinmun D, par' le plus grand commun diviseur des quantités A', B',C'....

3^. Lorsqu'on sait trouver le plus grand commun diviseur de deux quantités, il est facile d'en déduire celui d'un nombre quelconque de quantités A , B , G ,&,.... On détermine successivement , le plus grand commun diviseur ^ de A et B, le plus grand commun diviseur ^'de J" et G, le plus grand commun diviseur i^ de t^ et D ; et ainsi de suite ; le dernier de ces plus grands communs diviseurs est celui des quantités données Ay B, Gy D ,... En effet ; le plus grand diviseur commun à des quantités étant le produit de tous leurs facteurs communs, i" est le produit des facteurs communs à A et B , et ^ est le produit des facteurs communs à ^ et G ; ^ est donc le produit de tous les facteurs communs à A , B , G ; ^ est donc le plus grand commun diviseur des trois quantités A, B, G. Mais, ^^ est le produit des facteurs communs ki'' etD; i^ ]sst donc le

(ag)

prûdait de tons les iacteurs coknmuns i A, fi, G, D; ^'est donc le plus grand commun dÎTiseur des, quatre quantités A, B, Gy D. Et ainsi de suite.

4®. Lorsque un polynôme A+Bx + Car^+ete. , est divisible par une quantité ^ indépendante de la lettre x par rapport à laquelle il est ordonné, chacun des cœjfficiens A , B , G , etc. , est nécessairement divisible par t* En effet; les .quantite's ^9 A, B, G, etc. , étant indépendantes de «, il n'y a qu'un quotient de la forme « + Cr + yor* + etc. , qui multiplié par le diviseur tj puisse reproduire le dividende A + Ba: 4- Gx' + etc. ; on a donc

A +Bx -h Cx* +etc. ra (« -t- Cr +^x* 4- etc.) «r=s«/-t-C/jr4->/x* -f-etc.

Les polynômes A-feBa:+Gr"+ etc. , «e^+Wir-f-y/'a^^-etc., devant être identiques^ il faut que Asstf^, B=Cty G^sy^, etc.; ce qui démontre le principe énoncé.

Remâuque. Pour trouver le quotient de la division du pofy^ nome A H- Ba: + Cx^ + etc. , par le diviseur f indépendant de Xj il faut diviser chacun des coefficiens A, B, G, etc. , par /; les. quotiens «, C, y, etc., sont les coefficiens des puissances correspondantes de x dans le quotient demandé ; de sorte qu^ ce quotient est « -f- Cr -f* yx^ + etc.

Par exemple 9. pour obtenir le 'quotient de la division de («•-f-û — a) — {(^ — i)a: + (a»— i)a?'iMira— I, on divise les coefficiens fl* + ^'"-"2, û^ — i, û*— i,para — i , ce qui donne les quotiens a -(- a , a^+ a-^i^ a -f-i ;le quotient demandé est donc (a -4- a) — («* + ^ + *) ^ + (^ + i) ^•

28. Pour simpUfier la recherche du plus grand commun diviseur entre des poljnomes P', P*, P**,..., on peut d'abord diviser ces polynômes par leurs plus grands communs diviseurs monômes respectifs, M', M^, M*",...; les quotiens A, B, G ^ . . . , n'admettent aucun commun diviseur monôme (n* 20), et le plus grand commun diviseur des polynômes P', P', P*, .. •, est égal au produit du plus grand conimun diviseur M des monômes M', M% M"",... , par le plus grand commun diviseur D

( 3ô) des polpoweiwA^ fi, G,.«» £n effet; si l'en divisé IML', tt^, M"»..,, par M, les quoti^ns ni^ m\ m'',... , u'admettrontau»' can facteur commun (n^ 20) ; on aura

P'=M'A = Mm'A, P' = Mm''B, P* = Mm^'C , - , .

l4e plus grand commun diviseur des polynômes P', P*^ P*/... I sera donc égal au produit de leur plus grand commun diviseur monôme M y par le plus grand commun diviseur des polynômes i^'A, m''B, m*^,... (n® 27, a^); et les monômes m'y m" y m" y . . . , n'admettant aucun facteur commun y le plus grand commun diviseur de m'A, m^B, m'*C,..., est le même qtte celui des polynômes A , B , C. . . , (n** 1 9) .

La recherche du plus grand commun . diviseur des polynômes P'^ P'', P*v*M se trouve ainsi réduite à calculer le plus grand commun diviseur D des polynômes entiers A, B, €,... ^ qui n'admettent aucun diviseur monôme. £t par suite, un monôme quelconque sera premier avec chacun des polynosMe

39. Pour calculer le j^us grand commun dMseur des deux polynômes entiers A> B^ on observe que si Tua At ces poly^nomes divisait l'autre , il serait le plus grand commun diviseur cherché. On est donc conduit à diviser ces polynôme» l'un par l'autre ; à cet eÇet , on le^ ordonne suivant les pmssanees X décroissantes d'une mên^ lettre a? ; ik prennent la forme

A aas Px^ + Q^"*""' + etc. , B =/?j:» + ï^""* + etc.

t^es.coc^iens P, Q»*.*» jP^ ^i**-> sont indépendans de x; et ea supposant n = îpn ou it < m^ qa divise A par B.

3o. Pour graduer les difficultés, itûus supposerons à^ abord, que daas iouêes les disdsions successives auxquelles conduira la recherche du plus grand commun diviseur, le coefficient du premier terme de chaque dividende partiel est divisible par le coefficient du premier terme du diviseur; de sorte que les quoiéens et les restes seront des pofynontes entiers.

tovisiiaf^Ë divine À > U ^m gCf^éi tomM» divisçnr. doriaowadé ^t B.

Qua^d $^ n« diviie paç A ». on obtient un faoâent entier Q', et un reste R' dans lequel le pli^a fort exposant n' de x e^l moindre que s^ op a

A=:BQ' + R', d'où R' = A--.ÉQ^

Les polynômes A» B, QS K% étant entiera, la a^égalîtë fait voir que tout diviseur commun à A et B divise R', et la l*^ ^alit^ prouve que tout diviseur commun à B ef R^ divise A ; les facteurs communs à A et B , sont donc* le0 mêmes que ceut de B et R' ; le produit de tous les facteurs communs^ à A et B est donc W même que celui de tons les facteurs commun» à B e4 R' ; le plus grand commun diviseur de A et B est donc le même que celm de B et R' (n^ 19}.

Paj: conséquent z Tout diviseur ccmrmin à deux pùipiiHHes A% By divise le reste R' de la division de A par B^ el le plm grand c^tmnUn disnseur des pofyhomes A, B, est -k tnéme que celui de B et R'.

IdN question se trouve ainsi réduite à calculer le plus grand commun diviseur des^deux polynômes B^ R% dans lesquels les plu» forte éxposans^ de ar sont respectivement moindre» que dans A et B. On divise B par R'.'

QiPiand cette division conduit à nuk reste nul ^ R^ cet le plus*" grand commun diviseur de B et R^ et par saite de A et B.

Lorsque B n'es^ pas divisible par R^ en obtient un qno*tiieot entier Q'' et un reste R''^ dan» lequel le plu» fort ex-^ po^nt. V de ai est m<Hndse que nf. Or^ d'^après le princ^ qui vieni d'ètve démontré r tout diviseur de A et B divise "BJf, tout dixiaenr de B et R' divise R^, le plua grand eom^r, mun divUeuir de A et B est le même que celui de B et Ji% et ce derniei; est le même que celui de R' et 'Si!\ Par eon* sequent ; tout diviseur de A et E divise les restes Ky R^i et le plus grand commun diviseur des. p^ilynomea A, B^ e^t le même que celui des neales R^, R'^

Si l'on continue & diviser les xeates snccessatik le* un» p«ir les

aatreè, on Terra que ttmtdwiseur commun OMtx poljmofnes II, Bj disfise les restes successifs fi% K", etc. y et que le plus grami commun diviseur des poljrnom^ k,^, est le même que celui de deux restes consécutifs quelconques.

Mais, les plus forts exposans, n\ n'y.., de x vont en diminuant dans les restes successifs R'^ R%-**; ces exposans sont' des nombres entiers positifs, et n' est moindre que n. On parviendra donc toujours à un reste R indépendant de Xy après avoir effectué n divisions au plus.

Quand le^reste R sera nul, le reste r qui précède R sera le plus grand commun diviseur de A et B.

Lorsque le reste R ne sera pas nul, le plus grand commun diviseur des polynômes k,B, sera nécessairement indépendant de x; car ce plus grand commun diviseur est le même que celui des restes r, R, et R ne contenant pas Xf tout diviseur commun à r et R est nécessairement indépendant de x. Le plus grand commun diviseur de A et B étant indépendant de X, devra diviser exactement les coefBciens des diverses puissances de x dans A et B (n^ 27, 4*}, La question sera donc ramenée à déterminer le plus grand commun diviseur entre ces' coefficiens ; et la difficulté est diminuée , puisque ces coeffidens renferment une lettre de moins que les polynômes proposés.

3i. Lorsque dans le cours des divisions qui conduisent €m reste indépendant de x, on trouve un dividende partiel N dont le coefficient et du i" terme n*est pas divisible par le coefficient C du 1** terme du diviseur W, si N' n* admet au-* cun diviseur indépendant de la lettre^ x par rapport à laquelle les pofynomes sont ordonnés, le principe ^ n* 27 (i") fournit le moyen àHéviter les quotiens fractionnaires, sans altérer le plus grand commun diviseur, en multipliant le dividende N par C. En effet , S ne contient pas x , et l'on suppose que W n'admet aucun diviseur indépendant de x; il suit de là que C est premier avec N% car autrement , C et li' admettraient un diviseur commun / qui serait indépendant de x, puisque C ne contient pas x; N'' admettrait donc un diviseur

( 33 ) tndifpendant de ar ; ce qui est contxe Thypolbèse. Le plus grand tcoihmun diviseur entre N et N' est donc le même que celui qui existe entre Nff et N' (n^ 27 , i®) ; on pourra donc rendre la division possible , sans altérer le plus grand commun diviseur, en multipliant le dividende N par le coefficient C du i** terme du diviseur.

Remarque. Lorsqu'on sait trouver le plus grand commun diviseur y des coefficiens «, f (^), on peut simplifier le calcul ^ en cherchant là plus petite' quantité 7 par laquelle il faut multiplier le dividende N , pour que le coefficient ttC du I*' terme de NC^ soit divisible par f. On a vu (n" 21) , que C^est le quotient de la division de C par y. Le multiplicateur C étant indépendant de a?, on prouvera comme ci -dessus que le plus grand commun diviseur de N et N' est le même que celui de N^' et N'.

Enfin y si dans toutes les divisions qui ont précédé celle de N par N% le i*' terme de chaque diviseur a divisé exactement le i^ terme de chaque dividende partiel , le plus grand commun diviseur de A et B sera le même que celui des deux restes consécutifs N, N', (n^ 3o); et ce dernier plus grand commun diviseur est le même que celui de NC et N'.

32. Nous allons faire voir iyjL on peut toujours préparer le» • calculs de manière que les diviseurs successifs ne renferment aucun disfiseur indépendant de la lettre x par rapport à la^ quelle les polynômes sont ordonnés.

Soit proposé de trouver le plus grand commun diviseur dç deux polynômes A, B, qui contiennent y lettres , et supposons qu'on sache trouver le plus grand commun diviseur de ' polynômes ne contenant que y — i lettres. On ordonne les po^ ly nomes A, B, suivant les puissances^ décroissantes d'une même lettre x ; ils prennent la forme

A=Pa:'"+Q^'"-'+-.-+ Sa:+T, B==pa:»+^ar»-'+...+jar4-f.

{*) Ces coefficient étant indépendant de ar, contiennent nne lettre de moint ((oe les polynômes dont on cherche le pins grand commun diviseur.

Les coefficiens de x contenant au {dus y — i lettres , on saura wkiiler le glus grand commun diviseur i^ de P,Q,.--»S»T>et le plus grand commun diviseur/* dfip, y,.,., s, t. Le plua grand oonimun diviseur ^ de ^ et ^" géra le plus grand corn" nom diviseur indépendant de x des polynômes A,B ; de sorte qu'en divisant A par J^ et B par /' (n® 27, 4**), les quotiens k'i^j n'admettront aucun diviseur indépendant dex. On aura,

A=^A', B^i^'Ë', A'=P'j?« + Q'x"»-'+...+ S'a: + r, B'2=ï /a:» + y'jr*-*-h. . . + /a: + t'.

Pour mettre le commun diviseur ^ en évidence dans A et B, on divise^ et V par ^, les quotiens a\b' ^ sont premiers entre eux , et l'on a

y^hi, r = M'; d'où Ass/tf'A', h^tb'V.

Or, </ est premier avec i'; et comme B' n'admet aucun diviseur indépendant de or, la quantité a' (indépendante de a") est première avec B' ; a! est donc premier avec ^'B' (n** 17,5**) j le plus grand commun diviseur de a' M et 6'B% est donc 1^ mima que celui de A' et b'V (n* 27, 1°) ; ce dernier est le même que celui de A' et B', car b' est premier avec A'. Le plus grand commun diviseur de «'A' et è'B' étant le même que celui de A^ et B', il résulte du principe du n* 27 (2°}, que le plue grand commun diviseur de Aa'A' et W&\ ou de A ei B, sera le produit de i'par le plus grand commun diviseur D' de k'eiW.

La question se réduit donc à calculer le plus grand commun diviseur D' des deuè f olynon&es A^ , B^ qui n'admettent aucui^ diviseur indépendant de x.

Pour calculer le plus grand commun diviseur W dépendant de X y ou divisera A' par B' (on suppose m>n ou m==:n) ; dans tout le cours de cette division , le diviseur n'admettant aucun Êicteur indépendant de Xy lorsque le 1*' terme d'un dividende partiel ne sera pas divisible par le coefficient du i^'^

terme du diviseur, il sera Seicile de rendre la division possible en multipUant ce dividende par une quantité indépendante de JT, (n** 3i). On n'obtiendra de cette manière que des termes entiers au quotient , et Fou parviendra à un reste R' dans lequel le plus fort exposant n' de x sera moindre que le plul fort exposant n de xda.ns le diviseur B^ Le plus grand commun diviseur de A' et B' sera le même que celui de B' et R^

Pour ramener la question à la recherche du plus grand commun diviseur entre deux quantités qui , comme A^ et B', n'admettent aucun facteur iude'pendant de x, on observe que B' n'admettant aucun facteur indépendant de x, toute quantité indépendante àex sera première avec B' ; on pourra donc supprimer tous les facteurs indépendans de x qui peuvent entrer dans le reste R' (a? 27, i®). Ainsi, on déterminera le plus grand commun diviseur d** des coefficiens de x dans R% et on divisera R^ par ô^ ; le quotient Rj n'admettra aucun fac« teur indépendant dex, on aura R'=d^R,,et comme d'est premier avec B% le plus grand commun diviseur de B' et R^ ou de B' et ô'Ri, sera le même que celui de B^ et R,. On est donc conduit à diviser B' par R, ; et comme le diviseur ne renferme pas de facteur indépendant dex, on pourra éviter les quotiens fractionnaires en multipliant par des quantités indépendantes de a? (n® 3i) ; ce qui conduira à un reste R'' dans lequel le plus fort exposant n" de x sera moindre que n\ Jje plus grand commun diviseur cherché sera le même que celui de Ri et R''. On cherchera le plus grand commun diviseur V des coefficiens de x dans R'' ; la division de R'^ par d'' donnera un quotient R» qui n'admettra aucun diviseur indépendant de X, et le plus grand commun diviseur demandé sera le même que celui des polynômes R, , R^. En continuant à opérer de cette manière, on n'obtiendra que des termes entiers dans les quotiens et dans les restes ; et l'on parviendra à un reste R indépendant de Xy après un nombre de divisions qui ne pourra surpasser le plus fort exposant n de ^r dans le 1*' diviseur B, car les plus forts exposans n', »",..., de :r dans les restes successifs RSR"^ . . . , sont des nombres entiers

positifs qui vont en diminuant. Le plus grand commun di^ viseur des poljmomes A', B', sera le même que celui de deujc .restes consécutifs quelconques.

Lorsque R sera nul , le reste r qui précède R , sera le plas grand commun diviseur W de A' et B'.

Quand R ne sera pas nul , les polynômes A% B' , seront pre-* mîers entre eux ; car ils n'admettent aucun diviseur indépen^ dant dex, et ils ne sauraient admettre un commun diviseur fonction de x, puisque leur plus grand commun diviseur est le iQeme que celui des restes TjR ; dans ce cas, D' est égala l'unité. . Remarque. Lorsque les polynômes A' , B' , dont on cherche le plus grand commun diviseur, n'admettent aucun facteur monôme, on peut simplifier les calculs , en supprimant le plus grand diviseur monôme commun aux termes de chaque reste. £n e^ fet, si M' désigne le plus grand commun diviseur monôme da reste R' de la division de A' par B', le quotient de R" par M' sera un polynôme entier / qui n'admettra aucun diviseur iQonome, on aura R' =MV';et comme M' est premier avec B', le plus grand commun diviseur des polynômes B',MV^ sera le même que celui de B' et r', (n** 27, i®). Par une raison semblable , si R'' désigne le reste de la division de B' par /, ou pourra supprimer le plus grand commun diviseur monôme de R'; et ainsi de suite.

Gela posé : on a vu dans l'arithmétique comment on trouve \t plus grand commun diviseur de plusieurs nombres entiers ; ce procédé combiné avec celui qui vient d'être exposé, four-i^ nira le moyen de déterminer le plus grand commun diviseur de deux polynômes contenant une seule lettre ; et le principe du n** 27 (3®) servira à calculer le plus grand commun diviseur des polynômes qui ne contiennent qu'une seule lettre. On endéduim le plus grand commun diviseur des polynômes qui contiennent deux lettres ; et ainsi de suite , quel que soit le nombre des lettres contenues dans les polynômes proposés. On est donc en étcn de trouver le plus grand commun diviseur deplusieurs polynômes entiers, quel que soit le nombre des lettres contenues dans ces poljmomes.

( 3? ) * 33. D'après ce qui précède , pour déterminer le plus grand <^mmun diviseur de deux polynômes entiers V yV* ^ contenant

un nombre quelconque de lettres x^y^z^ , on chercha

d'abord leur plus grand commun diviseur monôme M, par la méthode du n** 26 , et Ton trouve

P' = Mwi'A, P" = Mm'B (page 3o).

On a vu (n^ 28) , qu'on obtiendra le plus grand commun di* Tiseur de P' et P", en multipliant M par le plus grand commun diviseur D des polynômes A^B, qui n'admettent aucun diviseur monôme.

Pour calculer D , on ordonne A et B suivant les puissances décroissantes d'une même lettre x, ce qui donne

A ~ Pjc"4-Qa:'"-» -f .... 4 Sx+T, B=/?5:''+yx»-'+. . . 4 ^a:+ i. Soit m>Ji ou m=n.

I*. Lorsque A et B ne contiennent qu^une seule lettre x, lès coefficiens P,Q, . . . ,S,T,/7,^, . . . yS^t, sont des nombres entiers; et les polynômes A,B, n'admettent aucun diviseur indépepdgcnt de x, car ce diviseur, s'il existait, serait un nombre entier /ce qui est impossible puisque A et B n'admettent aucun diviseur monôme.

Le polynôme B n'admettant aucun diviseur indépendant de j?,ni aucun .diviseur monôme, il résulte des-propriétés du n^Sa que dans tout le cours de la division de A par B, lorsque le coefficient et du i" terme d'un dividende partiel N ne sera pas divisible par le coefficient ^ du 1*' terme du diviseur B, on pourra rendre la division possible, sans altérer le plus grand commun diviseur, en multipliant N par ^, ou ce qui est plus simple , en multipliant N par le produit C des facteurs de Ç qui n'entrent pas dan3.« (^) , et l'on pourra supprimer le plus grand diviseur monôme commun aux termes de chaque

{*) Pour trouTer le multiplicateur C, on cherche le plus grand commun diviseur y des nombres entiers a, C, et l^on divise C par y ; le qnotient.ezr priinc le.'mQbiplicateiir demandé (no ai).

reste (n® Sa). On parviendra de cette manière à un reste R'' dans lequel le plus fort exposant de ^ sera moindre que n. On divisera le reste R' par son plus grand commun ditiseiur inonome ; ce qui donnera un quotient R, ; le plus graiid commun diviseur de A et fi sera le même que celui de B et R|. On est ainsi conduit à diviser B par R|. Or, R a n'admet aucun diviseur monôme ; R, n'admet donc aucun diviseur indépendant de X. Par conse'quent , dans tout le cours de la division de B par R|^ lorsque le coefficient «' du i*^ terme d'un dividende partiel ne sera pas divisible par le coefficient a du i^ terme de Ri 9 on pourra rendre la division possible en multipliaut ce dividende par les facteurs de a' qui n'entrent pas dans m (n* 21 ), et l'on pourra supprimer le plus grand diviseur monôme commun aux termes de chaque reste. On parviendra de cette manière à un reste R'' d'un degré moindre (par rapport à x) que le diviseur R^ On divisera le reste R' par son plus grand commun diviseur monôme ^ le quotient R^ n'admettra aucun diviseur monôme y ni aucun diviseur indépendant à^x^ le plus grand commun diviseur de À et B sera le même que celui de R, et R^. £n continuant ces calculs , on n'ôbliendi^ai que des termes entiers dans les quo tiens et dans les restes ^ et Fon parviendra à un reste R indépendant de j:. Lorsque R sera nul , le reste précédent sera le plus grand commun, diviseur D de A et B. Lorsque R ne sera pas nul, les polynômes A.,Bt seront premiers entre eux (page 36) ; de sorte que D sera égal à l'unité. Le plus grand commun diviseur des polynome% F, F, sera MD.

i" Exemple. P' = 6a:" -f-6r*' — 42x«»— 6a:» + 36je», P" = i4a:7— 70Ar^ + 56i:».

Le plus grand commun diviseur monôme de P' est M'=6z:^^ et celui de P" est M" = i^. Le plus grand commun diviseur de M' et M* est M = a:e^ On divise P' par M' et P" par M% ce qui donne les quotiens

Ar=x* + ar3^^jP|.g^ B = x*— 5x«4.4.

Pour trouver le plus grand commua, diviseur D de A et B,,^

(39) on divifle k par B , ce qui fournit le quotient + i et le reste R' := ;t^ — aa:» ..» jp -|. 2 , qui n'admet aucun diviseur mo-^ nome. La division, de B par K', donnant \t quotient exact X + 2 , le reste K est le plus grand commun diviseur D de A etB.

Le plus grand commiln ^tviseur de P' et I^ est

M D=s: 2X'(X^ — AT* — * + 2).

Et en effet y si Ton divise les polynômes P^^ P'', par MD^ les quotiens 3 (x -f- 3) x^, 7 (ar-f* 2), seront premiers entre eux.

2* Exemple. P' = 24a:** — 6oar" + 6x**» — 6x*,

On trouve, M'=5=6x', 51*= i4^'» Msssao?'.

On divise F par M' et P* par M', ce qui donne les quotiens , Ac:4^ — iox'4"^' — ï> B5=6j:'— iijC — Sx— I.

Pour déterminer le j^us grand commun diviseur D de À et B j on observe que dans la division de A par B j le diviseur B ne contenant aucun facteur indépendant de x, on n'altère pas le plus grand commun diviseur en multipUant le dividende A par un nombre quelconque, car ce nombre est premier avec B. Ainsi , pour éviter ksfracfions, mi pourrait mnlliplicr A par le coefficient 6 du i^ texme du diviseur ; mâb on déduit du principe du n** 21 ^ qu'il suffit de multiplier A par 3 ; le plus grand commun diviseur de A et B étant le même que celui de 3A et B , on divile 3A par B, 00 qui donne le quotient

2X et le reste r= — 8x^4- 190^ -f-2x — 3,

qui n'admet aucun diviseur monôme.

le plus grand commun diviseur demandé étant le mêmeque celui de B et r , on est conduit à diviser r par B * on rendla division possible j sans changer le plus grand commun diviseur cherché , en multipliant r par 3 ; la division de 3r par B donne le (Retient — 4 et le reste H' 5= 1 3 (ar* — 2X — i)u

Le plus grand commun diviseur demandé est le même que celui de B et R' ; et comme l\f renferme le Cau^teur i3 qui est premier avec B , on peut supprimer ce fieicteur dans R\ sans changer le plus grand commun diviseur; ce qui donne le quotient R, ^x* — 2X — I. j

La question se trouve ainsi réduite k chercher le plus grand commun diviseur entre B et R. ; on aivise B par R, ; cette di* vision se fait sans qu'il soit nécessaire d'introduire des facteurs dans les dividendes partiels ; on parvient à un reste nul, et Ton en conclut que R, est le plus grand commun diviseur entre A et B. Le plus grand commun diviseur entre F et P*

est MRt = tix^ (** — aar — i).

On trouvera de cette manière le plus grand commun diviseur de deux polynômes contenant une seule lettre ; et le principe du n® 27 (3^) ^ fournira le moyen d'en déduire le plusgrand commun diviseur étun nombre quelconque de poly^ nomes contenant une seule lettre.

Exemple. Soient , P' = tax* — iS^r* + 6j:*, P^z^Sex^— I2jr5-.24x4, F'=75x7 — 3oa:«— 45xS.

Pour déterminer le plus grand commun diviseur de ces po-» lynomes , on cherche d'abord leurs plus grands communs di— viseurs monômes M', M", M*; et l'on trouve M' = &r^, i/L"= i2x^f^ M'^ziSafi. Le plus grand commun diviseur iaf^ de ITy. M^y M", est le plus grand commun diviseur monôme M des polynômes proposés.

On divise P^^ P" et P*,. par leurs plus grands communs àh^ viseurs monômes M', M*, M" ; ce qui donne les quotiens

Pour calculer le plus grand commun diviseur des polynômes A 9 B , G , on cherche le plus grand commun diviseur de A et B qui est a: — I , et le plus grand commun diviseur de x — i et G, qui est âr — i. Le plus grand commun diviseur des polynômes A , B ,. C^ est D = x— I, (n® 27 , 3**). Le plus ^rand

commun diviseur des polynômes P', P*, P^, est -

MD=3x*(*— 0* ' 2**. Lorsque les polynômes A , B, contiennent deux lettres X , f, les coefficiens de x d^ns A et B , ne renferment qu'une ôeule lettre j-. On peut donc trouver, par la méthode indiquée (i*) ^ le plus grand commun diviseur ^ des coefficiens P, Q, . . , S , T, de-x dans A, et le plus grand commun diviseur ^ des éoefficienis/7,'^, ..;,*,/, de x dans B ; le plus grand commun diviseur i^ de i' et ^"^ est le plus grand commun diviseur indépendant de d:; des polynômes A , B.

Pour trouver le plus grand conimun diviseur dépendant de Xy on divise A par J*' et B par ^ (n* 27 , 4**) ; les quqliens A', B', sont des fonctions de aj efj" qui n'admettent aucun diviseur indépendant de Xj et qui ne sont divisibles par au* cun monôme. On a ,

A=i>'A', B=rB', A'=P'x~ + ..+r, B'=p'a:-+..+i'.

Dans le cours de la division de A' par B', le diviseur n'admettant aucun facteur indépendant de x^ ni aucun facteur monôme , toute quantité indépendante de x ou monôme, sera première avec B' ; on n'altérera donc pas le plus grand com-> mun diviseur en multipliant ou en divisant les dividendes partiels par des quantités indépendantes de x ou par des monômes. Ainsi, lorsque le coefficient « du i'^ terme d'un dividende partiel N, ne sera pas divisible par le coefficient/?' du i^' terme du diviseur B^ on rendra la division possible, sans altérer le plus grand commun diviseur, en multipliant N par le produit Çf des facteurs dep^ qui n'entrent pas dans a, (*) ; on pourra supprimer dans chaque reste son plus grand commun diviseur indépendant de a: , et son plus grand commun diviseur monôme. On parviendra de cette manière à un reste

(*) LêCS coefficiens a, p^, ne poavant renfermer cpi'nne senle lettre y, ou calculera leur plus grand commun diviseur 7^ parla méthode indiquée (i**) ; «c en divisant j/ par y , le quotient exprimera le multiplicateur C ^^ JBaaikdé(n«.ai}» . ^ .. . •

- »rf

R' dans lequel le plus fort exposant de x sera moindre que ril On divisera le reste R' par son plus grand commun diviseur monôme^ ce qui donnera un quotient r^ qui n'admettra aucun diviseur monoine. Les coefiiciens des diverses puissances de a? dans / ne contenant qu'une seule lettre j^i on pourra déterminer le plus grand commun diviseur <2' de ces coefficiene ; en divisant r par d' (n^ 27 , ^^), le quotient R, n'admettra aucun, diviseur indépendant dex, ni aucun diviseur monôme. Le plua grand commun diviseur de A' et B' sera le même que celui de B' et R,. La question sera ainsi réduite à chercher le pluSr grand commun diviseur des deux polynômes entiers B', R, ; et comme R| ne contient aucun diviseur indépendant de a; , ^ aucun diviseur monôme j cm, pourra opérer sur B' et R^ comme on vient de le faire sur les polynômes A', V\ ce qui conduira à un reste R'^ ; le plus fort exposant de x dans R'' sera m<Ândre que dans R,. On divisera R'' par son plus grand commun di* viseur monôme , ee qui donnera un quotient r^ ; on déterminera le plus grand commun diviseur cT des coefficiens de x dans r^, et la division de î^ par d'\ fournira un quotient R^ qui n'admettra aucun diviseur indépendant de x, ni aucun diviseur monôme. Le plus grand commun diviseur de A' et B' sera le même que celui de R, et R*. En continuant ces calculs, on parviendra à un reste R indépendant de x. Lorsque R sera nul , le reste précédent sera le plus grand commun diviseur D' de A^ et B^ Quand R ne sera pas nul, les polynonies A', B',, seront premiers entre eux. Le plus grand commun diviseur des polynômes A , B , sera /D^ et le plus grand commun diviseur des polynômes P', P*, sera M^iy.

Exemple. Soient les deux polynômes ,

-f. <5y-*«» — 6^x* -f- 6y«jc« , Pr= 4jr4x«— 4^3*6-- 4jr44p«+4^ijr«—4j'««H-4^«r4-f. 4^x»— 4^«a:».

Pour déterminer le plus grand commun diviseur mononw M des polynômes V^ P", on cherche d'abord les plus grands^ communs diviseurs monômes M', VCj de F et P'' ; on trouve

ék

M' =s6f^^) M'^3s&4^'x' ; U plus grand conimiin diviMur de M' et M" est M^a^x*.

Pour déterminer le plus grand cmnrnan diviseur indépen* dont de X, on divise P' par M^ et F' par M' ; on ordonne Ui quotiens A , B , par rapport aux puissances décroissantes de or, ce qui donne ,

B s:± Cr— I) a:3(^,) jp.(^,) ^^^.(^ ,)j...

Le plus grand commun diviseur des coefficiens de x dans A est ^' ts&j"^! y et celui des coefBcSens de x dans B est ^"tBxj-^ I. Le plus grand commun diviseur indépendant de X, de A et B, est donc i'tszy'^ i.

On divise A et B par j* — i ^ ce qui donne les quotiens ,

A' = Cr + i)ar3 -f-j-'x* — Cr* +1 ) a? ~jr,

Pova: trouver le plus grand commun diviseur dépendant éc Xf on divise A' par B\ ce qui donne le quotient j"-!*! et le

'teste

Ce reste n'admettant pas de diviseur monôme , on a R^cs /, On détermine le plus grand commun diviseur d' des coeffi* dens de x dans R'^ et Ton trouve c/^sj^-^j'+i. Le quotient de R' par <f est R, = a?* -+" (j^ — >) * — J'-

Le plus grand commun diviseur de A' et B'. étant le mémie que celui de B' et Ri, on divise B^ par R, , ce qui donne le quotient x «-jr, et le reste R=r o. Le plus grand commun d»** viseur de A' et B' est donc

ty=^i=^'+Or-i)x^X==zxix+j)^{x+jr)^(x—i) (x+^). Le plus grand commun diviseur de P" et P* est

M^D' i= ^j-^x^ tr*— I) (ar— i) {x +f).

On tix>uvera de cette manière le plus grand commun divi-*

seur^de deux polynômes quelconques contenant deux lettres; et le principe du n** 27 (3®) /fournira le moyen d'en déduire le plus grand, commun diviseur d'un nombre quelconque de polynômes de cette espèce. On en déduira le plus g^rand commun diviseur, de polj nomes contenant trois lettres^ et ainsi de suite.

On est donc en état de déterminer ^ le plus grand commun diviseur d!un nombre quelconque de poljmomes entiers , quel que soit dailleurs le nombre des lettres contenues dans ces polynômes^

34* Les poljrnomes Af, B\ dont on cherche le plus grand commun diviseur D'^ ne renfermant aucun facteur indépen^-x dant de la lettre x par rapport à laquelle ils sont ordonnés, on, peut calculer D', sans .qu'il soit nécessaire de supprimer successivement les facteurs indépendans de x contenus dans les restes successifs» En effet; dans ce cas , lorsque pour éviter les quotiens fractionnaires , on multiplie des dividendes partiels par, des quantités indépendantes de x y ces multiplications peuvent altérer le plus grand commun diviseur en introdui-*» sant dans les différens restes des facteurs indépendans de X^ non communs à A' et £' ; de sorte que le plus grand commun diviseur de deux restes consécutifs , n'est plus nécessairement le même que celui de A^ et £'. Or, les facteurs , non communs à A' et B', introduits dans les restes , par les multiplications pré-« cédentes , sont nécessairement indépendans de j: , et le plus grand commun diviseur D'y de A' et B', ne saurait admettre aucun facteur indépendant de x. Par conséquent, lorsqu'on parviendra à un reste S qui divisera le reste précédent , on pouvra déduire D' de S, en supprimant les facteurs indépen*dans de x contenus dans S; à cet effet ^ on cherchera le plus grand commun diviseur ^ entre les coefficiens des diverses puissances de x dans S ; le quotient de S par ^, exprimera le plus grand commun diviseur D' de A' et B'.

35. Le procédé que nous avons indiqué (n° 33 , i*^) , pour calculer le plus grand commun diviseur entre des polynômes contenant une seule lettre ^ fournit le moyen de décomposer

unpofynomjeV, fonction de deux lettres, x,jr, en troirfac^ teurs X', Y', A^ ; le i'''' facteur X' est une quantité indépen'^ dante dey qui peut être une fonction de x ^ ou un nombre, ou Vunité; le t.* facteur Y' est une quantité indéperCdante de x qui ne peut être qu une fonction de j, ou F unité. Enfin, le y facteur A!* est une fonction de xet jr qui n^ admet aucun di^ viseur indépendant de l'une des lettres, x, y, et qui peut se réduire à l* unité.

i". Pour calculer lefacteurlfl indépendant de y, on ordonne le polynôme P' par rapport ky ; et comme d'après le principe du n* 2»; (4°) > tout facteur de P' qui ne contient pas y^ doit diviser les coef&ciens des diverses puissances de j^ dans P', on cherche le plus grand commun diviseur entre ces coefficiens ; ce qui n'offre aucune difficulté puisque ces coefficiens ne sauraient contenir que la seule lettre x combinée avec des nombres entiers ; ce plus grand commun diviseur exprime le facteur X' demandé.

2®. Voux déterminer le facteur Y' indépendant de x , on pourrait ordonner P^ par rapport à x ; le plus grand commun diviseur entre les coefficiens des diverses puissances de x dans F y exprimerait le facteur demandé. Mais on parvient plus simplement au même résultat en divisant d'abord P^ par X' ; ce qui donne pour quotient un polynôme entier A'. On a P' =;X'A'. Or, Y' est égal à une fonction dej^, ou à l'unité; et X' est une fonction de la seule lettre x , ou un nombre , ou l'unité ; Y' est donc premier avec X'. Mais , P' étant égal à X'A', le facteur Y' de P' doit diviser le produit X'A' ; il faut donc que Y' divise A' (n® 17 , 4°)« Par conséquent, si l'on ordonne A^ par rapport à a: , le facteur Y', qui est indépendant dej?, devra diviser les coefficiens des diverses puissances de x dans A' (n** 27 , 4^) > ^^ cherchera donc le plus grand commun diviseur de ces coefficiens ; il exprimera le facteur Y' demandé*

3®. Enfin, pour calculer le 3* facteur K^ , fonction de X eXy y on divise A' par Y', le quotient exprime le facteur cherché.

On a, A'=Y'A% P' = X'Â' = X'Y' A^

Le polynôme A' n'admet aucun diviseur indépendant de Tune des lettres x^ x^m aucun diviseui* monôme.

On parviendrait au même résultat en commençaat par la reeberche du facteuï Y'. '

36. La décomposition que nous venons d'indiquer (n® 35) fournit le moyen de simplifier les calculs relatifs à la re^ cherche du plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers V, V, qui ne contiennent que deux lettres x,j;k cet effet y on ordonne ces polynômes par rapport à^ ; on cherche le plus grakid commun diviseur X' des coefficiens de j- dans P^, et le plus grand commun diviseur X" des coefficiens de j* dans P*(n«33, O.0ndiviseFparX'etFpar X"(n«27,4''); ce qui donne des quotiens k\V. On a , P' œ X'A', P" =X'B'.

On ordonne A' et B' par rapport aux puissances décroissantes de X. On cherche le f lus grand commun diviseur Y^ des coefficiens de x dans A'> et le plus grand commun diviseur Y" des coefficiens de x dans B'. On divise A' par Y' et B' par Y") ce qui fournit des quotiens A', B", qui n'admettent plus aucun diviseur indépendant de l'une des leUres op , j^, ni aucttu diviseur ndonome. On a>

A'=:Y'A% B^rsY^B"; d'ott P'=:iXTA% P'=X•Y"B^

les polynômes X', X*, ne contenant que la seule lettre ar, il sera facile de trouver leur plus grand commun diviseur X (n® 33 , 1**). On déterminera de même le plus grand commun diviseur Y des pplynomes Y', Y''. On divisera les polynômes X', X*, par X , et les polynômes Y', Y'', par Y ; ce qui donnera des quotiens exacts, j/, x^y^jr". On aura ,

X' = X:«:', X^=:Xa;% r=Yy, Y'^Yf , P'=XYa:yA", V ^XYxyV.

Chacun des facteurs :»:', y, étant premier avec x" et avecy^, les produits ;py, xf'j"^ sont premiers entre eux (n** 17, g*»)* On obtie^dira donc le plus grand commun diviseur des polynômes P\ V\ en multipliant leur facteur commun XY , par le plus grand commun diviseur entre A* et B*'(n° 19).

La question se trouve ainsi réduite à chercher le plus grand

(47) commun diviseur fonction de x et y^ entre deux polynômes A"*, B^t qui n'admettent aucun diviseur iude'pendant de Tane des lettres x^y^ et qui ne sont divisibles par aucun, monôme* Les j^oly nomes A''^ B'', étant ordonnes suivant les puissances décWssantes de x« sont de la forme

et les coefficiens P, Q,.**? S, T, p^ 9vm ^y ^> ^^ peuvent renfermer que la seule lettre jy combinée avec des nombres eor' tiers. Soit m >> 71 ou m es ri. On est conduit à diviser A'' par B"; et comme B" n'admet aucun diviseur indépendant de l'une des lettres, ar, j^, ni aucun diviseur monôme, toute quantité in<dépendante de l'une des lettres x^ y^ ou monôme , sera pre^ mière avec B'' ; on n'altérera donc pas le plus grand commun diviseur en multipliant ou en divisant les dividendes partiels par des quantités indépendantes de Tune des lettres jt, ^, ou par des monômes. Par conséquent , lorsque le i'" terme d'un dividende partiel ne sera pas divisible par le coefficient du i^ terme du diviseur, on pourra rendre la division possible, sans altérer le plus grand commun diviseur, en multipliant ce dividende par une quantité indépendante de a: , comme il a été indiqué (page 33); et l'on pourra supprimer dans les restes, les facteurs indépendans de l'une des lettres x, ^, ainsi que les fsicteurs monômes. En opérant de cette manière, on ne trouvera que des termes entiers au quotient , et l'on {parviendra à un reste R' dans lequel le plus fort exposant de X sera moindre que le plus fort exposant » de jr dans le diviseur B''. Le plus grand commun diviseur cherché Jiera le même que celui des polynômes B% R^

* Pour ramener la question^ à la recherche du plus grand commun diviseur entre deux quantités , qui , comme A" et B% n'admettent aucun diviseur indépendant de Tune des lettres X, j^, ni aucun diviseur monôme , on décompose le reste R' en trois facteurs , par la méthode du n° 35 , ^ observant qi%e R' étant ordonné par rapport à x , il' est pins simple de commencer par la recherche du facteur Yi indépendant de x.

Ainsi, on détermine le plos grand commun diTiseur T| àeé coefficiens de x dans R'; on divise R^ par Y| , on ordonne le quotient Q, par rapport à j-y et l'on détermine le plus grand commun diviseur X, des coefficiens de j- dans Q^ ; on divise Q^ par Xi , et l'on ordonne le quotient R, suivant les puissances décroissantes de x. On a R'=: Y|X(R(. Le facteur Yj est inàé^ pendant de x y le facteur Xi est indépendant de j* , et R, n'admet aucun diviseur indépendant de l'une des lettres x, j'y ni aucun diviseur monôme. Chacun des facteurs Y^ ^ X, , est premier avec B", car B'' n'admet aucun diviseur indépendant de l'une des lettres x , jr; le produit Y,X( est donc premier avec B* (n* 17, 5**) ; le plus grand commun diviseur entre B* et R'=YiX,R, est donc le m^me que celui qui existe entre B' et R, (nOa7, i*^).,

La question se trouve ainsi réduite à chercher le plus grand commun diviseur entre deux polynômes entiers B'', R^ , qui sont d'un degré moindre (par rapport à or) ^ que les polynômes primitifs A", B", et qui n'admettent aucuii diviseur indépen-* dant de l'une des lettres x y jr y ni aucun diviseur monôme. On pourra donc opérer sur B",et R^ comme on vient de le faire sur A'' et B". De cette manière , la division de B" par R, ne fournira que des termes entiers au quotient, et l'on parviendra à un reste R'' d'un degré moindre (par rapport à x) que R,. Le plus grand commun diviseur de A'' et B^ sera le même que celui dCeRi et R''. On décomposera semblablement le reste R' en trois facteurs Y^, X^, R^, et le plus grand commun diviseur des polynômes A'', B'', sera le même que celui des polynômes Ri , Rfl) qni n'admettent aucun diviseur indépendant de Tune des lettres or, ^, ni aucun diviseur monôme. En continuant ces calculs , on n'obtiendra que des termes entiers dans les quotiens , et l'on parviendra à un reste R indépendant de X. Quand R sera nul , le reste précédent , qui contiendra nécessairement X et jTy sera le plus grand commun diviseur D de A' et B''. Lorsque R ne sera pas nul, les polynômes A'', B', seront premiers entre eux (page 36) ; de sorte que D sera égal A l'unité.

Pouf mettre' en évidence le plys grand coinmun diviseur XYD des polynômes P', P", on divise A" et B*par leur plus grand commun diviseur D ; les quotiens A , B , sont premiers entre eux; on a A^sssDA , B^ssDB ; et en substituant ces valeurs de A" et B" dans les expressions XYxyA", XYjcyB", de P' et P" (page 46) , on trouve

F = XYDa:yA, P'^XYDxy'B.

Chacun des facteurs af^ y, A , e'tant premier avec l'un quelconque des facteurs x'^ y" ^ B, les protLûits J?yA, x^B^ sont premiers entre eux (n**- 17 , g*»). Le plus grand commun diviseur de P' et P" est donc XYD (n*» 27 , a").

37. D'après ce qui précède, pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers P',P*, qui contiennent deux lettres x^y^on ordonne ces polynômes par rapport à y. On détermine le plus grand commun diviseur X' des coefficiens de j^ dans P', et le plus grand commun divisent X" des coefficiens dej* dans P" ; on divise P' par X' et P^'par X"; on ordonne les quotiens A^K , suivant les puissances dé*croissantes de x ; on cherche 1q plus grand commun diviseur Y' des coefficiens de x dans A% et le plus grand commun diviseur Y^ des coefficiens de x dans B'. On calcule , le plus grand commun diviseur X des polynômes X',X^, et le plus grand bon^mun diviseur Y des polynômes Y', Y". On divise A' par Y' et B' par Y* ; les quotiens A'^B", n'admettent aucun diviseur indépendant de l'une des lettres jp^, ni aucun diviseur monôme. Le plus grand commun diviseur de F et P" est égal au produit de XY par le plus grand commun diviseur D de A*' et B*. Pour calculer D, on divise A* par B* (on suppose que le plus fort exposant de x dans A" n'est pas moindre que dajçs B"); lorsque dans le cours de cette division , on trouve im dividende partiel N dont le coefficient « du i®"" terme n'est pas divisible •par le coefficient ^du 1*' terme db diviseur B", on évite les quotiens fractionnaires en multipliant Npar^, ou ce qui es^ -plus simple, en multipliant N par le produit Ç des facteurs de* C qui n'entrent pas dans «1 (n** 21). De plus, lorsqu'on aperçoit

(So)

«hua ttft re8t€ un facteur monôme ou un facteur indépendani de . l'une des lettres x^^ on supprime œ facteur. On parvient ainsi à un reste R' dans lequel le plus fort exposant de or est moindre que dans le diyiseur V* On décompose K' en trois facteurs Yj>X,9Ri (n^ 35) ; le i*' facteur ne peut contenir qofe la lettre j*, le a* ne peut contenir que ^r, et Ri est une foné» tion de x eijr qui ne saurait admettre aucun diviseur indépendant de l'une des lettres Xjjr\ ni aucun diviseur monomè. Le plus grand commun diviseur de A'^ etB' est ie même que celui de B' et R, . On opère sur B' fet R, , <îomme on vient de le fiedre sur les polynômes A^^B^ ; ce qui conduit à un reste R' que roii décompose en trois facteurs T^^X* ^R». Le plus grand commun diviseur de A'' et B" est le même que celui de R, et R«. En continuant ces calculs > on parvient à un reste R indépendant Âe j:. Quand R est nul ^ le reste précédent'est le plus grandi commun diviseur D 4e A'' et B''. Quand R ni'est pas nul , let polynômes A" ,B'' , sont premiers entré eux ; de sorte que D est égal à Tunité. Le plus grand commun diviseur de P' et P* cstXYD.

Pour appliquer cette méthode à l'exemple du n* 33 (page 42), on cherche d'abord le plus grand commun diviseur X indépendant dejy des polynômes P^^P', proposés; à cet effet , on. ordonne ces polynômes piar rapport kjr^ce qui donne

P''==^4(x— i)«y+4(x— i)x3j^+4(«--i)^^--4(ar--i)a^^^

On cherche f le plus grand commun diviseur X' des coeffi* ciens de^ dans P', et le plus grand commmi diviseur X'^ des coefficiens de y dans P"; on trouvé

X' = &f(ar — I), X^=4«3(x — I).

LeplttSgrand commun divi9eurdeX'etX'^estX=ai:*(^-^t).

Pour calcukrJepbiégrandeomnmn diviseur Y indépendant de Xf on divise P' pa»r X' et P* par X' ; on ordonne les quotiens A^Wt par rapport aux puissances décroissantes de or, «t * l'on trouvlî»

On détermine le plas grand coimnun diviseur ¥' des céefficiens de x dans A' , et le plus grand ccrnimun diviseur T*. des coefficiensdeor dans B' 9 on trouve Y'=Cy'- 1)7**, ¥"=:(/- 1)^, Le plus grand commun diviseur de Y'et Y"est Y=(j^-^i)^.

Enfin, fonr déterminer le plus grand commun diviseur D^ Jonction de x et jr y on divise A' par Y' et B' par Y' ; ce qui fournit les quo tiens

La question est réduite à calculer le plus grand commun ^visevor D des polynômes A^ ,B"^ qui n'admettent aucun diviseur indépendant de Tune des lettres o:^, ni aucun diviseur monôme. Qndjvise A'^par.B'', ce qui .fournit le quotient jc^ et le reste R'= Ct* +jr + i) x + (y+jr + 0^-

Pour décomposer le reste R' en facteurs , on cherche le plus grand commun diviseur Yi des coefiiciens de x dans R'^ et l'on voit que Yissjr'+J* +1. La division de R' par Y, fournit le quotient Q' =(a:-f-j^). Ce quptient n'admettant pas de diviseur X( indépendant de a:, onaXi?=: i., etR,=iY, (o^+j:). Le plus grand commi^ diviseur de A'' et B'' est le mênie que celui de B'^et Ri , et ce dernier commun diviseur est le même que celui de B"et(a:+^)* On divise B" par j:-f-j*, ce quidoni^e 4e quotient x^jr et le reste R=o. Le plus grand commun diviseur de A* et B* est D = x-f-j*; et le plus grand commua dii^iseur des polynômes P',?", proposés, est

Ce qui s'uccorde avec le résultat obtenu ( page 43 ).

Pour mettre gb évidence le plus grand commun diviseur XYD des polynames F, F', on divise A*' et B" par D ; ce qui donne les quotiens A =r (^-j-r) x+i , B—x-^j:

On divise ensuite les polynômes X%X", par X, et les polynômes Y\ Y", par Y ; ce qui fournit le? quotiens,

En substituant ces valeurs , dans les formules générales r=XYD x'/A, P^œXYD xyB, (page 49), on trouve

Remarque. On peut simplifier ces calculs en cherchant d'abord le plus grand commun diviseur monôme M des polynômes P' P'' ; à cet effet , on détermine les plus grands communs diviseurs monômes M' ,M% des polynômes P',P''. On trouve, M'=6a:*j^,M'' = 4xy.

Le plus^rand commun diviseur de M' et M* est M=2j:'^'. On divise P' parM'etP'parM*,ce qui donne pour quo tiens les polynômes A, B (page 43). On décompose ensuite les polynômes A,B, en facteurs^ par la méthode du n^ 35, et I'ob

trouve X= ar— i , Y=jr ~ i , J)=x+j';^ •

Le plus grand commun diviseur de F et P'' est

UXYD=:i^f (x—i) (jr—i) (x+jr).

2* Exemple. Soient les deux polynômes

4^,ax7^8 — l'uc^yi -4- a4**y* — »4*lr* — "*'r + '^**/>

Le plus grand commun diviseur monôme de P est M'= laxy, et celui de Q est M''=2X. Le plus grand commun diviseur de M' et M" est M = 2j:. De sorte que le plus grand diviseur "monôme commun, à ^ et Q est

Ms= 2ar.

Pour trouver le plus grand commun éUviseur poljmûme de P et Q , on divise P par M' et Q par M" ; les quotiens, ordonnés par rapport à jr, sont

4- a (*• — i) ««r — («» — O^S , — (ax»^5*?— ;c — 6)xjr — 3(x*-har— 3)««.

Le plus grand commun diviseur des coefficiens de y dans P' est X' = a?* '— I , et celui des coefficiens de y dans P^ est. X'' = ^* + ^ — a. Le plus grand commun diviseur de X' et X" est X c= a: — r, ' ^

On divise P' par X' et P*' par X"; les quotiens ordonne's par rapport à x sont

Le plus grand commun diviseur des coefficiens de x dans A,' est Y'=j^* — I , et celui des coefficiens de x dans B'^ est Y"=jr» — aj- — 3. Le plus grand commun diviseur der Y' et

Y''estY = jr+i.

On divise A.' par Y' et B' p^r Y.'^; ce qui. doime les quotiens

A^ssar' — 7.jx^ — J^"J!^+ 2j^j B*== ar'+j-o: — ?j^..

Pour trouver le plus grand commun diviseur de A' et B*,. on divise A* par B", ce qui donne le quotient x — Zy et le reste R' = 4j^* [x — jr) . Le plus grand' commun diviseur de B* et R' étant le même que celui de B" et x — ^, on divise B* par a: — j^ ; ce qui donne le quotient x + a^, et le rjBSte R =£ o. Lé plus grand commun diviseur de A'' et B'' est donc D=a: — jf;. et par suite le plus. grand commun di^is^ur de P et Q est

' MXYPc=aa;(a:~i)(^4:i),(x~jr).:

Si l'on veut mettre ce plus grand commun diviseur en e'vî<^ dence dans P et Q, on observe d'abord que d'après les calculs

ci-dessus, on a P = M'XTA% Q = M''XT'B".

On divise successivement, M' et M" par M, X^ et X" par X, Y' et Y" par Y, et enfin A" et B" par D ; ce qui donne des quo-? liens m', wj', j/> or*, j'^ j^", A et B. On trouve ,

On en déduit , P = MXYDm Vy A , Q = MXYDm* ary B ,

Q=2x(ar— iXj-+x)(a:— j-)X (X + 2) Cr— 3) (x+ 2jr>.

Chacun des facteurs m', 3:', jr'^ A , étant premier avec chacun des facteurs m*, x", j-'', B, les produits niafykj m'aryB, sont premiers entre eux (n* 17, 9"). Le plus grand commun diviseur des polynômes P, Q, est donc

MXYD = 2a:(x — (j- 4- 1) (ar — ^).

38. Pour appliquer la médiode du n® 37 à la rec^erc^e 4u plus grand . commun dis^iseur et un nombre quelconque de poljrnomes PV P% P*,...> contenant deux lettres x, jr, on décompose chacun dé ces polynômes en trois facteurs (n^ 35) ^ et Ton trouve

rsszXl['k% V = X'^'h\ P*=X"T''C",....

On cherche le plus grand commun diviseur X de X', X'^, X*,.«» j et ï« plïw grand commun diviseur Y de Y', Y*, Y*,... ; enfin on calcule , par la méthode du n** 37^ le plus grand commun diviseur D des polynômes A", B'', C, . • . , qui n'admet«» tent aucun diviseur indépendant de l'une des lettres x^ y^ ni aucun diviseur monôme. Le plus grand commua diviseur demandé, de F, P% P^, . . . , est XYD.

On pourra opérer d'une manière analogue, pour c^^lculeir le plus grand commun diviseur d'un nombre quelconque de polynômes contenant trois lettres. Et ainsi de suite.

§ III. Résolution de deux équations numériques à deux inconnues. Théorie de VEUnUnation.

39. Lorsqu'on a plusieurs équations entre plusieurs inconnues, n^^ouJre ces équations, c'est chercher Içs divers systèmes de valeurs des inconnues qui rendent toutes ces équations identiques; chacun de ces systèmes fournit une solution des équations proposées ; et selon que des valeurs substituées pour les inconnue satisfont ou ne satisfont pas à toutes le9 équations proposées, on dit que ces valeurs sont bonnes ou qu'elles sont étrangères.

Nous supposerons que les équations proposées sont numéri* ques et qu'elles ne renferment que des puissances entières positîves des inconnues Xy jr; nous n'admeiir&ns que les valeurs finies des incqnnues,