Quand Fune des deux équations proposées ne renferme

aue l'une des inconnues, Xj y, on obtient toutes les solutions de

ces équations en résolvant des équaîions à une seule inconnue.

Elu .efiEet , toit le tystènie , F {y) =; o , ^ (jr , j*) = o.

Chaque valeur ff de ^ tirée de P (j-) =0 , et substituée dans' /{x^)=siOj donne l'équationà une seule inconnue f{XyÇ)z=zù^ qiii détermine les valeurs de xcorresponâasites S^jrz^Ç.

Exemple. Soit le système,

jr'— 5j- + 6 = 0, a:»— (2J^+ OX + O^+J-— 2) = 0;

La X** équation donne j'=2 et j^==3.

Pour trouver les valeurs de x correspondantes à j^==2,. on fait j^=2 dans la 2® équation ,. ce qui fournit l'équation à une seule inconnue x'* — 5j? -f- 4= ^ > ^^ ^^ déduit a: = i et j7=?4.

On trouvera semblablement que les valeurs de x correspond* dantes kjr^ 3 ,. pont x:^ 2 ktx a=5»

De sorte que les équations proposées admettent les qua^tre solutions ^

4i. Lorsque y les deux inconnues , :f ^ j^, entrant à la fois dans chaque équation , une de ces équations est du premier ou du second de ff ré par rapport à Fune des inconnues, on peut ramener ce cas au précédent, £a effet :

I**. Soient les équations , px — y = o ^ f(x jjr) = o » dans lesquelles p çt q sont des fonctions rationnelles et entières de la seule inconnue j^. La i'^ équation donne x=s^ ^ et la substitution de cette expression de x dans f{x\jr)-=io^ fournit une équation y^-, J" ) = ^> <I^ ^^ renfertne quej^*. Chaque valeur de^, tirée de cette dernière équation et substituée dana l'expression ^ de ^^r, fournit la valeur correspon-»

dante de a:. Les valeurs de x et j'y ainsi déterminées , satisfont nécessairement aux équations proposées.

a*. Soient leséquatianSy.pj:'+?<^'4^'*=^» fi^&y^^^^r

dans lesquelles p^ q, r, sont de& fonctions rationnelles- et QUtières de la seule inconnue jr. La i*^^ équation donne

La substitution de la i** valeur de x dans f{Xypr)^^o^ con« duira à un ré&ultat de la forme Q=P^/5r* — ^r,

dans lequel, P et Q seront des fonctions rationnelles et entières de jr. Pour faire disparaître le radical, on, élèvera les deux membres au quarré ^ ce qui donnera V équation ration^nelle

Q» = P'(^»— 4pr), d'où (i)..Q*— P*(^*— 4pr)=o.

On serait conduit à la même équation en substituant la, 2* valeur de x dans f{Xj j^) =o; car cette a* valeur de x ne différant de la i*^* que par le signe du radical^ le résultat d^

cette substitution serait Q= — P v/y" — ^pr; et en élevant les deux membres au quarré , on parviendrait encore à Téquation (i).

L'équation (i) détermine toutes les valeurs de y qui conviens nent aux équations proposées; car ces valeurs doivent satis* faire à Tune (les équations

Q— P|/5=Il4pr=^^ Q + Pi/y'— 4/?r=o,

et toutes les racines de ces , dejlx dernières équations sont fournies par Téquation

qui se réduit à • '

(i)...Q»-P»(î?' — 4pr)=±o.

Pour trouver la valeur m dex correspondante à une valeur Cde J'y tirée de l'équation (i), on pourrait faire ^=C dans les équations proposées ;/i,^ et r prendraient des valeurs particulières j p'%q\f^ i et a:= « devant satisfaire aux équations j:>'a:' + 5r'j:-4-r'=o,y(a:,C)=o,qui ne renferment que la seule inconnue x , les premiers membres de ces équations devraient admettre. un commun diviseur x — «; de sorte qu'en cherchant le plus grand commun diviseur ç{x) entrejp'ar'+y'x+r^ et f (a:,ff), l'équation ç (a:}=Oy déterminerait toutes les valeurs de X correspondantes à jrzrzÇ,

Mais on peut parvenir plus simplement aux mêmes solu" tions. £n e£fet :

(2) . .x=i-(— ^+ l/^l^) a donné (3) . .Q=P {/q^—Z^pr,

(4)..j:===^(-4^^V^^4^)adonné(5);.Q=-P/i^4^. .

On obtiendra donc toutes les valeurs de or et j- qui conviennent aux équations proposées, en cherchant successivement les solutions de chacun des deux systèmes (2), (3), et (4)9(5)-

On sait d'ailleurs que toutes les bonnes valeurs de jr sont fournies par l'équation (1).

Pour trouTar la valeur a àex^ correspondante à une valeui: Cde x^ tirée de (i), on bitjrxssC dans (3) et dans (5). Si^ = Ct satis&it à (3) et à (5), cette valeur de jr donnera

nécessairement Q=o et l?^q*'^^rxsco) car ^n ajoutant les équations (3) , (5) , menibre à membre ^ on trouve aQc=a o ^ d'où Q=o; et par suite, chacune des relations (3) , (5) , donne

P V^^'— 4/"'=o. Les relations (2), (4)» fourniront les deux bonnes valeurs de x qui coi^spondent à jr :^C.

Sijrz=sQne satisfait qu'à (3), il n'y aura qu'une valeur correspondante de X ; cette valeur sera donnée par la relation (2).

Si j'zssC ne sàtirfait qu'à (5), la valeur correspondante de X sera fournie par la relation (4)*

U résulte de cette discussion, que si l'on se bornait, comme cela paraîtrait naturel , à substituer dans (2) et dans (4) les valeurs dey tirées de (i), on trouverait quelquefois des valeurs de x qui ne conviendraient pas aux équations proposées.

Exemple. Soient les équations , x-- 7jrx^y--r^ o,

La i"donne(6)..j:=j-+V^3^, et (7)..JP=r— V^j^.

En siibstituant successivement ces valeurs de îr, dan$ la 2* équation, on parvient aux équations irrationneUes

qui conduisent à la même équation rationnelle jr^7=jr^

d'où j^'^jrssi o. On en tire ^ = i et jrz= 6.

Pour obtenir la valeur de x çprrespondante à >'=s i , on pourrait faire j*= i dans les premiers membres des équations proposées , ce qui donnerait a?*— ajfaeso, «'-Sj:*^- 3jp-^2=:o ; on chercherait le plus grand commun diviseur entre les premiers inembrès de ces deux dernières éqtiations ; ce commun £ viseur serait rr— 2; et l'équation j:-* 2 ses d, fournirait la valeur xs=a qui correspond à j^=::i. Mais, les bonnes vai*^

leurs d^ x etj*, devant satisfaire au système (6)^(8), ou au système (7), (9), on fera/= i dans (8) et (g);jr=:i satisfait à (8) et ne satisfait pas à (g) ; on trouvera donc la seule valeur dé a: qui correspond àjrzzsi^ en faisant j'=si dans (6); ce qui donnera jr= 2.

On reconnaîtra de tùètne que la valeur de x correspondante àjrr=oestars=:o. Ces valeurs de a? et ^ satisfont à chacun des systèmes {6)>(8)-,et Cj) j(9)-

, Les équations proposées n'admettent donc que les deux solutions j^rrrijarrsa II j*==o,a:=o.

Si Ton substituait la valeur j*= i , dans (6) et (7), on trouverait x=2, j: = o, et les valeurs ^= I, a:=:o,ne conviennent pas aux équations proposées.

4a. Nous allons faire voir que lorsque lès ieux inconnues ^ x^jTy entrant à la fois dans chacune dès deux équations pro^ posées y (i).. A=Oy Bsso, on 71e sait résoudre aùcme de ces équations par rapport à Vune des incormues , ar , j^ , le procédé du plus grand commun dwiseur, appliqué aux poljrnontes fifi^Jimmit le mqjren défaire dépendre la résolution dusjrs*' tème (i), de celle d'un autre système de laform'e^ F (^)=ro, f{^fy)^^o^ Et l'on a vu (n^ 4^) comment on trouve lés sohi'»' tioBs de ce nouveau système.

Pour qu'uïie vialeur ff de j- convienne au système (i) , il faut et il suffit que la substitution de cette valeur de^dans A et B, donne deux fonctions A',B', de x, qui soient réduites à zéro par une même valeur « de a: ; de telle sorte que les polynômes A^,B'; admettent un commun diviseur x — «. Par conséquent, si l'on cherche le plus grand commun diviseur entre les poly-* nomes A,B, ordonnés suivant les puissances décroissantes de Xj et si l'on continue les calculs jusqu'à ce qu'on parvienne au reste R indépendant de :r (ce reste ne peut contenir que la seule inconnue ^)^ en ayant soin d'éviter les quotiens fractionnaires et de t^ supprimer dkvs les restes successifs aucun facteur fonction de jr, toutes les valeurs de jr qui satisfont au système (i) devront réduire R à zéro; car on vient

de voir que' si Ton subfltttue ces bonnes valeurs de y dans A et By les fonctions A',BVy de x, qui résultent de cette substitution , doivent admettre un commun diviseur fonctioix de X, Toutes les bonnes valeurs dey, seront donc déterminées par l'équation à une seule inconnue Rr= o.

Pour obtenir les bonnes valeurs de x correspondantes à une valeur C de j'y tirée de R=o, on pourrait faire jr^^-C dans les polynômes Â^B, et chercher le plus grand commua diviseur ^ (j;). entre les fonctions A%B'^ de x, qui résulteraient d^ cette substitution ; l'équation à une seule inconnue 9 ( jT ) =: o, déterminerait les bonnes valeurs de x correspondantes kjr=^^. Mais nous allons indiquer une méthode plus expéditive. Nous distinguerons deux cas :

i^' Cas. Lorsque dans tout le cours des divisions successives , auxquelles conduit la recherche du plus grand commun diviseur entre les polynômes A, B, le coefficient du i" terme de chaque dividende partiel est divisible par le coefficient du 1" terme du diviseur, et lorsqu'on ne supprime dans les restes successifs aucun facteur fonction de jr , les valeurs de xet^qui satisfont aux équations proposées sont les mêmes que celles qui réduisent deux restes consécutifs quelconques à zéro. En efiet, supposons que les polynômes 'A, B , étant or-^ donnés suivant les puissances décroissantes àe x ^ le plus fort exposant m de a? dans A ne soit pas moindre que le plus fort exposant niex dans B; la division de A par B donnera un quotient entier Q', et un reste R' dans lequel le plus fort exposant n\ àeXy sera moindre que n; la division de B par R^ donnera un quotient entier Q^j et un reste R' dans lequel le plus fort exposant n^^ de x , sera moindre que nf^ En conti-* nuant ainsi à diviser les restes successifs les uns par les autres, on parviendra nécessairement à un reste R indépendant de Xy après un nombre de divisions qui sera tout au plus égal an; car les plus forts exposans n , n'y n", . • . , de x , dans le i" diviseur B et les restes successifs R', K''^..., sont des nombrea entiers positifs qui vont en diminuant ; on aura

A=BQ'-HR', B = R'Q''+R% R'=:R*Q"+R*, ctc^

La i'* identité fait voir que toutes les valeurs finies de x et j*qui réduisent A et B à zéro, rendent R' nul, et que toutes les valeurs finies de x eijy qui réduisent B et R' à zéro , rendent A nul ; car le quotient Q' ne contenant que des puissances positives de x et j" ,' ne saurait devenir^nfini pour des valeurs finies de ces inconnues.

Les solutions du système (i). . . A=: o, B = o ,

sont donc les mêmes que celles du système (2).. . B=o, R'= o.

On verra d'une manière semblable , que d'après l'identité B =s R^Q^'-f-I^^ l^s solutions du système (2) sont les mêmes que celles du système (3). . .R'= o, R"=: o.

£t ainsi de suite-. Ce qui démontre les propriétés énoncées.

Lorsque après avoir e£fectué les calculs précédens , on aura trouvé les deux derniers restes R^ , R , les équations R = o , R, = o , traitées par la méthode du n^ ^o , fourniront toutes les solutions du système (i)...A=o, B = o.

L'équation R = o , ne pouvant contenir que la seule inconnues^, déterminera toutes les valeurs de cette inconnue qui satisfont au système (1) ; et comme elle ne saurait donner des valeurs de j- étrangères à ce système , on 4it par cette dpuble raison que VizszoestV équation finale enjr résultante de 1'^limination de x entre les équations (i).

En général : lorsque noAs dirons qu'une équation ^(^)=o est l'ÉQUATioEr FINALE eu j^ résultante de l'élimination de x entre deux équations (i)... A = o, B=o, renfermant les deux inconnues, x,jr^ nous sous-entendrons que toutes le# valeurs de j" propres à satisfaire au système (i) sont données par l'é* quation ^ {jr) *=: o , que ces valeurs conduisent à toutes les solutions du système (i), et que ^(^) = o ne saurait donner des valeurs àejr étrangères au système (i).

Exemple. Soient les deux équations ,

B = a:'— arx + ( j^— j^j = o,

La division de A par B fournit le quotient entier x ^j\ et

le reste R| s= j? — 9^ ; on divise B par R, , ce qui donne le quotient entier x et le reste R =sjr^ — j*.

Les solutions des équations propose'es sont donc les raèm^ que celles des e'quations a: — 2^ = p , j* — jr^^o.

TJ équation Jitiale eajr estj^ '^jr^= o, ou (^^i)j'z=:o.

On en tire, j"=.i eijr = o ; les valeurs correspondantes de jr, / déduites de « — 2;^ = o , sont x = 2 et x =0 . De sorte que les

équations proposées admettent les deux solutions

jr=I, X=!l II J- = 0, X=.0.

Ce qui s'accorde arec les résultats du n** 4 > (P^S^ %)•

Resiarque. Si Ton éliminait j^ entre les équations proposées, l'équation finale en userait {x — 2) {x — o)=o, ou a:* — 2x=îo. 2* Cas. Lorsque dans la recherche du plus grand commun diviseur entre les premiers membres des équations proposées (ij... A=:=o, B = o,le coefficient du premier terme de chaque dividende partiel n'est pas divisible par le coefficient du 1^' terme du diviseur, on évite les quotiens fractionnaires en multipliant les dividendes par des quantités indépendantes de la lettre x par rapport à laquelle on a ordonné (n** 3i}. Ce3 multiplications introduiront quelquefois des valeurs de jr étrangères au système (i) ^ de sorte que des valeurs de :r etjf qui réduiront deux restes consécutifs à zéro , pourront ne pas convenir au système (i). Mais, si l'on a soin de ne supprimer dans les restes successifs aucun facteur fonction de j^, afin de ne pa^ ôter des valeurs de jf qui substituées dans A et B introduisent un commun diviseur fonction de x entre les fonctions A', B^, de ^, résultantes de ces substitutions, toutes

j les valeurs de x ,^ , qui conviennent au système (i) , réduiront

à* zéro deux restes consécutifs quelconques, Ra, Ra^i. Aiusi, le système Rft=o , Rft^| = Oy fournira quelquefois des va-

I leurs de j* qui ne conviendront pas au système (i)^ mais il dé»

terminera nécessairement toutes les solutions du système (i).

Nous démontrerons d'abord que si dans le cours de la division qui a conduit au reste R' d'un degré moindre , par rapport à x^ que le diviseur B , il a fallu multiplier le diyi-

( 63 ) Aende A et les restes successifs r^r^^ r^^, . .y par des quantités #^ /', i*'y ^*y . • . , indépendantes de jt, pour n'obtenir au quo- .tient que des termes entiers j q^q^j q"y q'^y» » .y la division de Ai'y^'.'i'''. . . , par B conduirait au même reste K et à un autre quotient entier, sans qu'il soit nécessaire , pour éviter les fractions , de multiplier les dividendes par des quantités indépendantes de X,

Par exemple , supposons qu'il faille calculer trois termes au quotient , pour parvenir au reste K ; on aura

La i" égalité donnant k^i^i^" = Bqt''i^+ r^J^", on voit que si Von divise A W J^ par B , le i*' terme du quotient sera l'entier qi^f'j et le reste sera r i^'i"", La a* égalité donnant f^i^=sili4f'i^'' + /i^, la division de r^i^" par B fournira le quotient entier q'i^ et le reste r'^'. Enfin, la 3* égalité /iT" = B/ 4- R', fait voir que la division de r'/" par B donnera le quotient entier q" et le reste R'. De sorte que la division de AM^f par B, fournit le quotient entier.»

•qi'^"+q'f" + q" et le reste K\ Ce qui démontre 1& propriété énoncée.

D'après cette propriété : si l'on désigne par a le produit des .quantités J^f /"% ^", • . . , indépendantes de Xy par fesquelles on a dû multiplier les dividendes partiels pour parvenir au reste R', sans introduire des termes fractionnaires au quotient , la division de Aa par B donnera un quotient enlier Q% et le même reste R' -, on aura donc '

Aa=BQ'-f-R% d'oùR' = Afl — BQ'.

Cette dernière identité démontre que toute solution jr s «^ jrjaaCy dttsystème(t) ...A=o, B±=o, convient au système (2)... B=so, K'zsio; caraucu»edes quantités e/itières,^, Q', ne pouvant devenir infinie quand on y fait :r2=:/t, ^=C, ces valeurs finies de x eijr réduisent nécessairement l'exprès^ .sion, A« — BQ% deR' à. séro.

La réciproque n'est pas généralement vraie : t^nfi solution

:r ïss flt', ^ == C, du système (2) , peut ne pas cons^enirau sys^^ thme (i). £a effet, les valeurs «t\ C, de ^ et j*, substituées dans Aa=BQ'-4*^^9 donnant Aa= o , il peut arriver qu'elles ne réduisent pas A à ze'ro, puisque a étant fonction de \^y l'hypothèse J^=C peut rendre a nul en réduisante zéro l'un des facteurs ^, J", ^, . . . , de û.

Cependant la valeur j's i\ qui réduit à zéro l'un des fac«teurs de a, convient quelquefois au système (i) ; car Ton con— çoit que x'=:A\jr'=zÇ ^ peut réduire A à zéro.

Mais, quand j'=C' ne réduit à zéro aucun des facteurs J^^ y y ^", . . . , de a, la solution a:=at', ^=|^, du système (2) , convient nécessairement au système (1) ; car a n'étant pas nul ^ la relation Aa=o donne A =0. ^

Par conséquent, le système (2). . . B=: o, R'=rk>, détermine non - seulement jtoutes les solutions du système (i). . . A=:o, B=o, mais quelquefois il donne en outredes valeurs de a: et j* qui ne conviennent pas aux équations (i) proposées.

Remarque. Les identités A^= B^+r, r/^=: B/ + /,.••, «démontrent que toute solution x^za^j-^. ^, du système (i)^ réduit aussi à zéro les restes partiels r, /, . . . , qui ont conduit au reste R' d'un degré moindre , par rapport à x^ que le diviseur B ; mais que des valeurs de x et j^ , qui réduisent à zéro deux des restes /, r",..., R', peuvent ne pas convenir au système (i) ; car, par exemple, si a:=:=a*, ^sssS", réduit r et / à zéro , l'identité r^ = By' + r^ prouve que B^' devient nul , ce qui peut avoir lieu sans que B se réduise à zéro , puisque q' peut devenir nul.

£n opérant sur les équations (2) comme on vient de le faire sur les équations (i) , on est conduit à diviser B par R'. Soit b le produit de toutes les quantités y, vS y^. . . 9 indépendantes de X , par lesquelles il a fallu multiplier les dividendes succès-: sifs pour n'obtenir que des termes- entiers au quotient, et pour parvenir au reste R'' d'un degré moindre par rapport à x que le diviseur .^ ; il résuite de ce qui vient d'être démontré (page 6B) ,'que la division de B6 par R' conduirait au' même reste R'' et donnerait un quotient entier Q".

LesideiUîtés Aa=BQ'+R', B6==R'Q"+R% démontrent que toutes les solutions du systè;me (i) .. A=o/B=o, satisfont au système . (3). . . R'= o, R''= o.

La réciproque n'est pas généralement vraie : une solution xssol\j's^C, du système (3), peut ne pas convenir au système (i). Eu effet) les identités précédentes donnant

B*=R'(y+R", Afl^=BAQ' + R'ô,

les valeurs x =*', jr=:^Cj qui réduisent R' et R" à zéro y donneront BAsso, Aabzrzo; ce qui peut avoir lieu sans que A' et B deviennent nuls, puisque j'rix C peut réduire à zéro l'un des facteurs.^, ^\ ^"y. . . , y , y', y\. . . , de a ou de ^.

Cependant, la valeur ^=.C', qui réduit à zéro l'un des facteurs /, ^', ^%i . M >i >% y»* • M convient quelquefois aux équations (i) ; car Ton conçoit que le système des valeurs x:=:m\jrsssCy peut réduire A et fi à zéro.

Maisy 8ij^=iC^ lie réduit à zéro aucun des facteurs ^, ^v * • > y , y% . • . , les produits a^b^ne deviendront pas nuls , et la. solution j:=«,^=^, du système (3) , conviendra nécessairement au système (i) ; car Bb et Aab devenant nuls, il faut que les valeurs x=iei\ jrz^Ç'^ réduisent A et B à zéro.

. En continuant ainsi à diviser les restes successifs les uns par les autres » on verra que toutes les valeurs de a: et^ qui conviennent aux équations (i) proposées, réduisent deux Testes consécutifs quelconques à zéro ; mais que des valeurs x=tt% j'=^', qur réduisent deux restes consécutifs à zéro, peuvent ne pas convenir aux équations ^i) proposées. De plus, la valeHr.j*=C' ne saurait être étrangère au système (i) , que lorsqu'elle réduit à zéro Tune des quantités ^, ^^ ^", . . • , y? 7% y" y • • 9 P^^ lesquelles on a multiplié les dividendes suc* cessifs pour éviter les quotiens fractionnaires. <

Par cpîifséquent : si l'on continue les dii^isions jusqu*à ce qu'on

parvierine au reste R indépendant de x, et si R, désigne le reste

précédent , le sjrstème (4)« • • R = o , R, = o , fournira non^

. seulement toutes les solutions du système (i) . . . A == o, B =; o,

mais quelquefois il donnera en outre des valeurs de x et jr

qui ne conviendront pas aux équations (i) proposées. Unesoiu^ tion x^=.êi,j^=.i' , dusysthme (4) ne saurait ^/re ÉTRANcàRe au système (i), que sijr-=^ réduit à zéro V une des quart-» Htés, t", ^', ^*> . • • > y> y' j y"> • • • ^ p^r lesquelles il a fallu mu/— tiplier les dividendes successif s, pour n'obtenir queues termes entiers dans les quoliensj mais quelquefois, la valeur J^= 6^ qui réduit à zéro Vun des multiplicateurs ^, ^ , J'^..., y>y', y^^-y convient cependant au sjrsthme (i)...A=o, B = o.

D'après ces propriétés, si l'on désigne par ^(j-) =o l'équation finale enjr qui ne donne qufB toutes les valeurs àejr propret à satisfaire au système (i) , le restç R indépendant de x sera généralement le produit de ç (jr) par une quantité entière P * indépendante de x. Lorsque P sera uÂ\ nombre , ou sera l'unité, l'équation R=o ne donnera que les fcbnnes valeurs de j". Lorsque P contiendrai^, l'équation R=o donnera non-seulement toutes les bonnes valeurs de^ , mais en outre' des valeurs de j*, fourmes par l'équation P = o., qui pourront ne pas convenir au système (i).

Remarque. On peut simplifier les calculs précédens en supprimant dans chaque reste le plus grand commun diviseur entre les coefficiens numériques des différens termes de ce peste ^ car les valeurs de xetjr qui réduisent des polynômes à zéro, ne changent pas, quand on divise ces polynômes par des nombres.

4^ D'après les discussions précédentes :

. 1®. Lorsqu'une solution a: =. a', ^ = C' , du système (4)- . . R ss: o , R, = o , est telle que jrz=zC' ne réduit à zéro aucune des quantités /, f\ ^*,..., y, y', y",..., par ^squelles il a fallu multiplier les dividendes successifs pout éviter le» quo tiens fractionnaires, ces valeurs de x et jr réduisent nécessairement à zéro tous les restes , ainsi que A et B ; de sorte que x = m% ^ = ^S ^st une solution du système

2*. Lorsqu'une solution x = m, jrz=:€% du système (4) est telle que j* = »' réduit à zéro l'un des n^ultiplicateurs i^y y, ^"r»'? y> V^ y"v> Ï€s valeurs tt\ C\ de x et y, peu—

( €r ) veut ne pas convenir au système (i) ; et pour d*en aosurer, il ^suffit de faire a: = «', j" = C, dans A et fi.

3". Pour reconnadtre si une solution x-=x.tiy yzsiÇ ^ du sys^ tème (4) j convient au système (i), on fait .j'sssd dans las «uultiplicateurs /, ^^ /*",..., y, y' j y",.*- Quand aucun de. ces multiplicateurs nt devient nul 9 on est certain que dpssm\ .jrzsz C, est une 'solution du système {i). Lorsque ;^= C re'— doit l'un de ces multiplicateurs à zéro, les valeurs xssa^ jrT=:C, peuvent ne pas convenir au système (i), et l'on s'en Assure en faisant x = «% jr = C% dans A^st B.

4^. Lorsqu'aucune des valeurs de jr^ tirées de R == o , ne Téduit à zéro l'un des multiplicateurs ^, #^, i^*",..., v, r', y^v^ les splutious du système (4) sont les mêmes que celles du sys*^ tème ( 1 ) ; de sorte que R t= est Véquationjirude en jr (page 61), <]!es conditions ont nécessairement lieu, quand les' multiplia cateurs ^^ è* , /", • • m V9 y^ 7 % ' • • 9 ^viX des nombres^'ou quand U n'existe aucun commun diviseur fonction de x entre R et l'un quelconque de ces multiplicatetrrs* r/ . • ,

5*. Quand le reste R a un commun ^WlsfeWip{jr)a^ des multiplicateurs/', /', ^%..., yi îJ^'^'j/^..., le système (4) fournit souvent dfs valeurs de x et j"' qui ne conviennent pa< au système (i); car dans ce cas, les 'Valeurs de j^ tirées de 4> {y) r= o , sont des racines de R =: o , et ces valeurs de j^ rë-» duisent à zélro celui des muttiplicatears#,^/',... , y, y^..«, qui a le facteur commun ^\y) avec R«

6". Lorsque te resie R est un nombre y le sj^me (i) naà*met aucune solution^ car toutes les valeurs de jr propres à satisfaire à ce système doivent réduire R à zéro (n^ 4^)*

7^,pnanâ le reste R est identiquement ntil , il existe une infinité de valeurs de jt et ^ qui satisfont au ^ystènae (1). En effet : les^polynoines A, B, admettant alors pour plus gmnd commun diviseur^ le; reste Kj qui précède R, si l'M divise A et B par R, , on ola^âtÉnra des quotiens A', B", qui sercfnt entiers et qui n'auront auccm facteur commun (n*^ 20). On a\«ra A = A'R, , B = B'R, . Or , p€^r qu'un produit àe facteuns êftéiers devienne nul, il\faut etfitstfffSi- que l'un de ses fàcHemm

se, réduise à zéro. Par conséquent : l'ëquation R, =■ o^ foar^ nira une inBnité de solutions du système (i)... A = o, B=o ; ■et les autres solutions des équations (i) seront déterminées par le système (5)... A' = o, B' := o.

Quand le plus [^rand commun diviseur R| de A et B ,' renfermera leà deux inconnues x y jr^ on pourra donner des valeurs arbitraires/À l'une de ces inconnues, l'équation R, =o, qui ne contiendra plus que l'autre inconnue , servira à déterminer les valeurs correspondantes de cette dernière inconnue. Lors^ que Rf ne contiendra que l'inconnue x , l'équation R, = o déterminera un nombre de valeurs de x marqué par le degré de. Ri , et ces valeurs de x satisferont au système (i) quel que soit jr* #

Pour déterminer les solutions du système (5) , on opérera comme si l'on cherchait le plus grand commun diviseur de A' et B', en ayant soin d'éviter les quotiens fractionnaires , et en ne supprimant dans les restes successifs aucun facteur fonction de jr. On parviendra ainsi à un reste r indépendant de x. Ce reste ne sera jamais identiquement nul , car A' et B' sont premiers entre eux. Si r. désigne le reste qui précède r, le système (6). . . r= o , Ti = o , déterminera toutes les solutions des équations (5) , et il pourra donner en outre des valeurs de x et jr étrangères au système (5).

8®. Lorsquune valeur S de jr, tirée rfe R = o, rend nul le reste R| qui précède R^ cela indique que plusieurs valeurs de X peuvent correspondre à jrz=S. Pour obtenir ces valeurs de Xy on observe que les solutions du systèmie (r)*** A=o, B=o, devant réduire tous les restes à zéro , il suffit défaire j-=C dans les restes qui précèdent R,, jusqu'à ce. qu'on parvienne à un reste ^ (x, jr), qui ne se réduise pas à zéro, lorsqu'on jr fait jr =s C; Inéquation ^ (ar, C) = o, fournit les valeurs de x qui peuvent correspondre à ^ = ^.

Si cette valeur C de ^ ne réduit à zéro aucune des quantités i^j i^i J^,..., y> y', y*, etc. , par lesquelles on a multiplié les dividendes successifs pour parvenir au'teste ç {x , j^) ,^sans «dmettre. des quotiens fractionnaires , cha<;^e valeurs de i>

(69) tirée de q> (^, C) = o, combinée avec j- = C, fournira nue solution x=:ct , j-rrrC, du Système (x) ; ce qui déterminera un nombre de solutions des équations (i) marqué parle degr^ de Téquation ^ (a:, C) = o.

Si j-s^C réduit à zéro l'un des multiplicateurs ^, ^,w« > y, y',..., des valeurs correspondantes de a?, tirées de ^(jf,C)=:o, pourront ne pas convenir au système (i) ; on reconnaîtra celles de ces valeurs de x qui , conjointement avec jrz=zS^ conviennent au système (i) , en les substituant dans A et B.

Quand j =^C réduira tous les restés à zéro , ainsi que A et By les équations (i) admettront une infinité de solutions; car A et B contenant alors le facteur commun y — C, la valeur y = C satisfera à ces équations quelque soit x.

Lorsque A e/ B n'admettent aucun commun diviseur fonc" lion de x ou de y, ou de x et jr, le reste R ne peut être identiquement nul ; une valeur ^ == ^, tirée de R = o, peut rendre tous les resles nuls, quel que soit or; mais elle ne saurait réduire A et B à zéro : car si cela arrivait , A et B auraient un commun diviseur y — C; ce qui est contre l'hypothèse. Il n'existe donc qu'un nombre fini de valeurs de x correspon— dantes à y =zC, Le système ( i ) . . . A=3 o , B = o , n'admet donc qu'un nombre fini de solutions.

Réciproquement, lorsque le système (i) n^ admet qu* un nombre fini de solutions, les premiers membres A, B, nepeus^ent avoir aucun commun diviseur fonction de x ou de y^ ou de X et y; car s'il existait un commun diviseur D de cette espèce, entre A et B, l'équation D = o fournirait une infinité de solutions du système (i).

9®. Lorsque, dans le cours des divisions successives, Vun des restes est décomposable en fiacteurs, on peut simplifier les calculs; car les solutions du système (i) réduisant deux restes consécutifs quelconques S , S', à zérp , si l'on sait décomposer; S' en deux facteiprs p, q, on obtiendra toutes, les solutions du système (i), fournies par le système S = o , pq = o , en trai-r tant séparément chacun des deux systèmes plus simples ,

S=:o, p=:o, Il S = o, ^=?o.

( 70 ) lo*: Lorsqu'une valeur C de jr^ tirée de R :== o , réduit t'u» des restes à un nombre , on est certain que cette valeur de jr ne convient pas aux équations proposées, c'e6t*à*dire qu'il ne lui correspond aucune valeur finie de x; car les bonnes va-« leurs de d: et j- doivent réduire tous les restes à zéro. • Par exemple, si l'on parvient aux restes R, = {^*— i)jr+^ + 2, R=y* — I j la valeur ^œsi , tirée de R ~ o , ne conviendra pas aux écpiations qui ont conduit à ces restes, carias i donnant R, = 3 , aucune valeur finie de x ne pourra réduire Ri à aéro. On peut d'ailleurs obsierver que R, = o , donnant

jç =: — *^ , la valeur de x correspondante à j* = i est

JTss-— -^sx-^oQp^ et nous sommes convenus (n* 39) de

o ja'admettre que les valeurs finies des inconnues.

44* 11 ^^ facile de voir que le but dçs calculs du n** 4^ esl de faire dépendra la résolution des équations proposées (i)... A=Oy £ = 0, de celle de deux équations de la forme. F{^)=ro,y(a:,j^)=o. A cet effet, on opère comme s'il s'agi$sait 4e trouver le plus grand commun diviseur de A çt B „avec cette seule différence , qu'on ne suppi^ime dans les restes successifst aucun facteur fonction de^; on continue les calculs jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste R indépendant de as ; le reste R, qui précède R est en général une fonction de» incojuiues, x^jr ;, et le système (2)*.. R=:o, Riss: <^, traité par la méthode du B^ J^Oy sert à déterminer les solutions du système (i).

Quand toutes les divisions s'effectuent sans qu'il soit néces» saire , pour éviter les quotiens fractionnaires , de multiplier des dividendes par des fonctions de jr, les solutions du syistème (2) sont les mêmes que celles du systènte (1), (n' 4*> i^ cas). Lorsque pour éviter les quotiens fractionnaires , oii est obligé de multiplier des dividendes par des fonctions de j^, ces multiplications peuvent introduire dans (2) des valeur» de^a: et^ étrangères à (ï); de sorte que le système (2), qui détermine toujours toutes les solutions du système (x), peut

{ 7* ) donner en outre des valeurs de jr et j^ qui ne satisfont pas aux équations (i)... A = o, B == ô.

Ënfin^ si le toeffitient du i*' terme d'un dividende partiel n'étant pas divisible par le coefficient du i*' ternie du diviseur, 6n effieCtuait directement la divisioû , sans rendre la division possible , en multipliant par une fonction de jr^ on obtiendrait au quotient un terme fractionnaire par rappoH kj\ et si l'on effectuait de cette manière toutes les divisions successives , sans multiplier les dividendes par des fonctions de j^, les quotiens et les restes renfermeraient des termes fractionnaires par rapport à y. Nous allons faire voir que dans^ce cas, le système (12) pourrait encore fournir des valeurs de ir et j" qui ne conviendraient pas au système (i) , mais qu'il a:mverait même quelquefois , que le système (2) ne donnerait pas toutes les solutions du système (1).

Soient r et r deux restes consécutifs d'un rang quelconque ,

et supposons que la division de r par r^, ne puisse pas cou-*

duiré a un reste /, d'un d^ré moindre (par rapport à j;) que

/, sans que le quotient renferme y dans le dénominateur; ce

quotient, fractionnaire par rapport à y^ mais entier par rap-

N porta JT. serait de la forme -r— 7 , et l'on aurait

(3)...r==i!^ + r'';d'où(4)...r''==:r— -Çl.

Une solution a:a=«, jr=C, du système (5)*., r =o,r"=o, pourrait ne pas convenir au système (6)... r=o, r' = o ; car y n ff pouvant réduire ^ (^) à zéro, l'expression (3) de r pourrait se présenter sous la forme indéterminée - ; de sorte que

l'on ignorerait si ces valeurs de 3ùtt y réduisent r à zéro.

Réciproquement, une solution arcs*', j-zr:^, du système (6), pourrait ne pas convenir au système (5); car j^œ V pou« vant réduire 9 {f) à zéro, l'expression (4) de 1^ pourrait se

présenter sous la forme indéterminée ^ ; de sorte qu'on ignp*.

xerait si r^ devient nul.

Les valeurs de j: et^ qui réduiraient deux restes conmé— cutifs à «éro , De seraient donc pas toujours les mêmes que celles qui réduiraient deux autres restes consécutifs à zéro.

Par conséquent , sillon ézdmeUait des quotiensfractionnaires , il arrii^erait quelquefois que des solutions du sjrsthme (a} ne çoTH^iendraient pas au sjr sterne (i) , ef que des solutions du sjrs-^ ieme^i) ne conviendraient pas au sjrsthme (2). Ce qui démontre les propriétés énoncées.