T'=(VdV — TdW
On a d'autie part :
dz
^^dV + idW
et par suite ;
ou :
j' 1 (zi. il= C— Ud\ + TdW — i Ç'ïà\ + VàW
= 2i7z (U' + iT'j ^2i-r(z')
FOSCTIOS DE GREi:.\ ET J'IiOlU.EME DE DIHICII LE! i Vi d'où enfui :
il-,' z — z
(Tost le tluMurnie des iN'sldus de (',;m('h\ .
(]e théorème n'est vrai que si le point .M est intérieur au contour Ci ; les formules 0 . de même, ne peuvent s'applicjuer que tians ce cas.
Tl. Définition de la fonction de Green. — Soient un volume 'f limité par une surlace lermée S et M un point situé' à 1 intt'rieur de T.
Supposons que Ion puisse trouver une lonctitui II satislaisant aux conditions suivantes :
1" Elle est harmoni([ue dans T.
2" On a : H = sur S,
r désignant la distance du point fixe M |x', y', z') au point variable M (x, y. z).
La fonction H étant o])tenue. posons :
La fonction G ainsi définie est la fonction de Green relative au volume T et au point M'.
Cette l\)nction s'annule sur S et satisfait à l'équation de Laplace en tout point du volume T. saut au point M' <tù elle devient infinie.
La fonction de Green que nous venons de définir est relative il un volume limité et correspond au problème de Dirichlet intérieur. On peut de même définir la fonction de Green correspondant au problème de Dirichlet extérieur.
Soient toujours S une surface fermée et T l'espace situé a l'extérieur de cette surface. Soient, en outre, ^L un point fixe du domaine T et M un point variable; appelons r la dist.nice MM'.
Supposons que l'on puisse trouver une fonction H satisfaisant aux conditions suivantes :
1" H est liainioiilquo dans le domaiiio T.
2«0n a : II = — — sur S.
'.V- La (onction II s'annule à linfini. Il étant obtenue, posons :
G=II+ — • r
La fonction G ainsi définie est la fonclioii de (îrecn relative au point M' et au domaine T. Elle s'annule sur S, devient infinie en INI' mais satisfait à l'équation de Laplace en tout autre point de T.
Quel que soit le domaine T, la fonction G est une fonction des coordonnées x, y, z du point vaiiable M ; mais elle dépend aussi des coordonnées x', y', /.' du point de discontinuité M'. On peut donc l'écrire G (x, y, z, x', y', z'), en la considérant comme une fonction de ces six variables, ou encore G (M, ^L), en indiquant par cette notation la valeur, au point M, de la fonction de Green relative au domaine T et au point ]M'.
72. Propriétés de la fonction de Green. — Soient deux points M et M' du domaine T; soient en outre G ÇSl , M) la valeur en M de la fonction de Green relative à T et au j)oint M' et G (AF, M] la valeur en M' de la lonction de Green relative au point AI. Je dis que l'on a :
Pour démontrer ce théorème, nous distinguerons deux cas.
Premier cas. — Le domaine T est situé à l'intérieur d'une surface S qui le limite (fi g. 46\ Soit aloi's M' un troisième point du volume T. Posons :
Montrons que l'on a :
Fig. 4<i.
io.\CTio.\ D/: cnicry i: r pnonLÈMi: de diriciili: r \Vi
Polir cchi. riportdiis-iioiis ii iiiu' ItMimilr déinontri''»' ;ui |iaia- |4ia|)h(' 68 : si l et ^ cK'si<^iit'nt tlciix jxttciitiels iicwioiiinis dus. le prt'iuici' a une distrihutioii m de masses, le deuxifuu- ii une distribution m, on a :
dr
