IV
J.^^ \ lin du '
(!<'ttr loiiHulc s"a|»|)]i([u<' encore si U t-t \ dési<^uciit luii i-l I autre la somme d un potcntiid et d une lonetion liarmonicpit». Or, ce dernier cas est précisément le cas de G' et G"; G' est la somme d'une fonction harmonique H' et d'un potentiel dû à une masse -j- l j)lacée au point M'; G'' est la somme d'une fonction harmonique H et d un potentiel dû à unr masse -f- 1 plaeét^ au point M . ( )n a donc :
Mais la lonetion G sannule sur S ; G' et G' sont donc nulles dans cette intégrale de surface et le premier membre est nul ; le second il<»it 1 être aussi et Ton conclut :
c'est-à-dire et de même
Le théorème annoncé est donc démontré. Cependant il faut remarquer que cette démonstration n'est pas sans défaut : elle
suppose en effet (luen chaque i)oint de S, —. — existe et est finie
du
et bien déterminée. Or G est é^al à \\-\ et Ton sait, au
sujet de H, seulement ceci, que l'on a :
AH = 0 dans T
11 = —— sur S
THEORIE DU POTEyriEL i\E]VTONIE.\
dll
-Mais on ne sait rien sur — j — . On ne sait donc rien non plus
dC '•"
sur — j — , an
On peut donner une démonstration plus rij^oureuse, nous
l'indiquerons plus loin, mais auparavant traitons le deuxième cas.
Deuxième cas. — Le domaine T est indéfini : c'est la portion de l'espace qui s'étend à l'extérieur d'une surface fermée S.
Traçons alors une sphère ^1 de très grand rayon ayant pour centre M' et contenant ii son intérieur la surface S et le point M
Fjg- 4:-
(lig. 47) ; appelons T^ le domaine compris entre la sphère ï et la surface S et désignons par G, la fonction de Green relative au volume T, ; enfin désignons par H, la fonction harmonique correspondant et par r et r' les rayons vecteurs issus de M et M'. On peut écrire :
G. (M, M') = II, (M, M) + ^, G.(\r,M) = II,(M',M)-|- — ;
/• oscTio S Di: c /{ i: i: s y. r r n o n i. i: m i: de uiitu ii l /; r i "> 7
le vdlumr T, étant limit»'. la ilénionstration du j>aian;ra|tlii' |)r»'cédent s'applique ot \\n\ a :
Cx, ;m,m';=g, (M,M).
Or. on a aussi :
et il laut déaiuntrer (|U(' 1 On a :
Comparons G et G, ; on a :
G — G, = 11— II,
Considérons la dillerenoe II — II,.
Cette lonction satislait a l'équation de Lajtlacc dans !«• volume T, ; «die sannule sni' S et prend îles valeurs très [)etites en valeur absolue sur la sphère ï. si eelle-eiaun ravon très ori^nd. parce que II et II, s'annulent à linlini. Donc, dans le volume T,, II — 11, prend des valeurs très petites en valeur absolue, qui tendent vers zéro quand le rayon de I augmente indéfiniment.
Puisque H — II, tend vers zéro, G — G, tend aussi vers zéro.
Considérons alors les différences :
elles tendent vers zéro et comme on a constamment
G,iM,M') = G, (M, Ml on voit que la différence
tend aussi vers zéro quand le rayon de S croît indéfiniment : mais. d'autre part, cette différence est indépendante de i. on a donc nécessairement :
et le théorème est démontré.
i58 THEORIE DU POTE MI EL SEWrOMEN
Cette dênionstiatkm re[)Ose, on le voit, sur celle du premier cas ; elle s'en déduit d'ailleurs rigoureusement : mais elle n'est sans délaut que si la première est aussi sans défaut. J'ai indiqué plus haut, à propos de celle-ci, la ciiti<[ue qui peut ètr<>
laitr : elle est relative a la dérivée — ; — dont il aurait lallu au
du
préalable démontrer l'existence.
Il V a des cas cependant où l'on sait calculer la lonction de
• • ,• ,- • , fl<~'-
(Ireen et vériiier ainsi directement 1 existence de — j — .
du
Un de ces cas est celui de la sphère ; nous allons le traiter rapidement à titre d'exemple. Occupons-nous dabord du problème intérieur.
Soient S une sphère, 0 son centre ^fig. 48j et a son rayon. Soit
en outre M un point intérieur ; nous vt»ulons calculer la lonction de Green relative ii ce point.
A cet ellet, menons le diamètre OM' et prenons sur ce diamètre le point M' conjugué du point ^I' par rapport à la sphère ; enfin soit M un point intérieur quelconque et Mj un point de la surface ; menons les droites 0M„ MM', MM", M, M', M^M" et posons :
MM' = r MjM' = r, OM=rp.
MM" = r' M.M'' = r',
On a
d'où
OM. OM"=:a*
