LA
ï étant une sphère de i-ayon p concentrique à S et tout entière intérieure à cette dernière sphère. On voit que J représente Ui
Fig. G4.
valeur niovenne de V sur ï. Envisageons maintenant une sphère ti concentrique aux premières et de rayon 1. Soit :
Ahjrs da est un élément de la sphère Q. D'où :
J = / YdT.
On en déduit
dj r d\
1 /• dV
clJ / dV , l /• dV -
-j — = / -j — dT = / — j tl(0
dp J{ii) dp 4-p-,'(r) dn
, dJ 1 f dV ,
p- -j— = ~ \ — — do).
' do 4-^1; an
CÀ)nsidérons deux sphi'res ^ et ïi' coirespontlant ii deux valeurs diflerentes de p, p et p'. loutre ces deux sphères, ^ est harmoni(jue. D'où :
rdV /'dV
iV chi ^'i:' dn
Par suite
Hh:sOI.LTIO.\ DU PROBLÈME DE DlltH III.ET 2<) î
On (Ml ih'cliiit :
A ('tant une nouvelle constante.
SI V est harmonique même en O, J conserve une valeur finie loi'sque p tend vers zi'io, car si on pose alors :
«>n a évidemment :
Donc :
I.a même conclusion subsiste, si, V n'étant pas harmonique en (), on peut cependant réaliser linégalité :
Dans ce cas en elFet, dès que o serait assez petit, on aui-ait :
si C était dillerent de zéro, ^hiis cela est impossible puisque J est la valeur movenne de ^ . D Où :
D'ailleurs la conclusion ne serait plus exacte dans d'autres cas, du moins en général. Prenons en eflet par exemple :
On a ici :
do
D'où :
C=rl.
THÉORIE DU POTENTIEL NEWTOyiEX
93. Théorème analogue à celui de Laurent. — Soit \ une fonction liai inonique clans l'espace compris entre deux spht-res concentriques S„ et S, dont les rayons sont respectivement o,, et p, (p^, <Pj]. Celle fonction est susceptible cV un développement en série analogue à celui fjiti est connu sons le nom de formule de
Fi g. 6j.
Laurent pour les fonctions analt/fifjues /lolomo/p/ies dans une couronne circulaire.
Soient X, y, z les coordonnées d'un point M situé entre les sphères S„ et Sj. Posons (Tig. G5) :
Nous supposerons, ce qui est permis évidemment, que V reste finie et continue ainsi que ses dérivées sur S„ et Sj ; cela revient ii dire que V est harmonique dans un espace un peu plus grand que celui que nous considérons. Dans ce cas, on peut, d'une infinité de (açons, construire une lonctionW jouissant des propriétés suivantes :
1" ^V est défini ii l'intérieur de S^.
2" Si l'on considère une fonction H <[ui coïncide avec \
entre S^^ et S, et avec W ii l'intérieur de S^,, (-) présente tous les caractères de continuité des lonctions liai'inoniques régulières.
RKSoi.vrioy ur i'houlicme de DiniciiLiri Posons miiiiitcMîiiil :
ef
On a :
IV =Ae = AW pour p<p.
Al =Ae=AV=U pour o„<o< o,
AU =0 pour p > 0, .
Oi' on peut t'orii'e :
V = (■) — r + U pour p,^ < p < p, .
A 1 inltTHMir de S|, on a:
(I Où ï; 87 :
O développement est valable pour :
('ela posé, L est un potentiel newtonlen engendré par des niasses situées toutes à l'intérieur de S„. Donc, pour:
?o<?<?n on a *^ 91 :
(3n conclut de lii :
v = i i2n+rn, + ï , °,
OU encore :
Ce développement, dont Tanalogie avec celui de Laurent est
inauHeste, est valable ii l'intéileur du domaine où V est harmonique, c'est-à-dire pour :
Po<?<?.-
94. Je dis que le développement précédent n'est possible que d'une seule manière. (]ela peut paraître paradoxal, car le choix de W comporte beaucoup d'arbitraire. Néanmoins, voici la preuve de ce lait.
Commençons par démontrer une importante propriété des polynômes sphériques. Posons :
X„ eX X,, étant deux lonctions sphériques. Considérons une sphère il de rayon p ayant pour centre l'origine et comparons son élément infinitésimal dco à celui de la sphère S concentrique et de rayon 1. Si l'on appelle p,^, 'f les coordonnées polaires d'un point, on a :
dw = p- sin OdOdi = p"da-.
D'autre part, on a :
J{<.i) \ du ' du J
en verlu de la lormule de Green, car:
An„=o, àn^=u.
Ahiis ici
d'où
Li}
du dj
Oi-
misai. uTioy or pnoni.kME de djuiculet 207
Keniplaçoiis ; il vient :
Donc, si n =^ p, on a :
f x„x,,aT = o.
t'est-ii-tliit' :
£x„X,,sinfidW-f = 0.
Il est clair que cela n'est plus vrai si n^p.
Supposons maintenant qu'il v ait deux d«''veloppements possibles pour une fonction ^ harmonique entre deux sphères concentriques S„ et S,. Posons :
Xotre hypothèse implique qu'on puisse éciire :
en retranchant l'un de 1 autre terme à terme les deux développements distincts de la même l'onction. Or je dis que cette conséquence est absurde. Kn elVet, nous savons que la série -Y„ est uniiormé:nent convergente comme étant la diiï'érence de séries qui le sont. Multiplions alors ks deux membres de l'égalité :
par^j, et intégrons sur la sphère i. On a:
en permutant les signes - et 1 , comme cela est permis à cause de l'unilormité de la convergence. Dans l'égalité précédente, le signe 1 ne porte que sur les termes pour lesquels on a :
Mais on a:
A'dcrz^O.
^o8 THEORIE DU POTESTIEL NEWTOMEN
r Y-' fW = 0.
On en conclut :
delà a lieu poui' toutes les valeuis de l'indice p. Donc, si l'on pose :
on a :
Le développement étudié n'est donc possiMe que d'une seule manière.
95. Remarques. — Considérons une fonction Y harmonique ii l'extérieur d'une sphère S^ de rayon p,, sauf peut-être ii l'infini. On peut écrire :
(le développement est valable dans l'espace compris entre la sphère S^ et une sphère quelcon(|ue dont le rayon est plus grand
Supposons maintenant q»ie l'on puisse réaliser, pour toute valeur de p, l'inéaalité :
|Vl<'f(?)?%
'i(p) tendant vers zéro c|uand p augmente indélininicnt. Je dis <[ue, dans le développement de \ , on aura :
I'>n ellet, on peut écrire :
r YX„ , r \\,f , /• X'„X„ ,
-i\'s= - "^ d7+ / ;' ' do-
c/(i: p" Je-) p" .Ar) p^"-^»
ni:soi.i nos ni j- n o ii /. /■: m /■: nr. DiHiciii.irr une,
Dans ct>tt(' lonmilt*, le signe y poilc sui' des termes pour les-
(juels on a :
On sait (jne la lonetion X„ est finie. Ileiivons donc :
