M-^ (o; > r X\dT H — i^ f X.,X „ d

Faisons croître p indéliniment. Le second ternie du second membre tend vers zéro et il en est de même du premier njcmhre. On a donc ii la limite :

D'oii, lorcément

ce ([ui implique :

\ XVl7-().

La proposition énoncée est établie.

poi.\c:ari':. Potcut. Xewt.

210 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTOyiEN

Voici une application. Supposons que Ton ait :

iVl<Kp", K étant une certaine constante positive. On peut écrire :

quel que soit p. Prenons :

z On est dans le cas signalé plus haut. D'où :

pour toute valeur positive de p. Dans ce cas, on a :

V = X, + pX.H- + p"X„+y-AiL

pour toute valeur de p supérieure à p^. La valeur principale de V à l'infini est alors :

c'est un polynôme.

Si la l'onction V est en outre liarnu)nique et régulière ;i l'intélieur de ïl^|, on a simplement :

V = X„+pX, + ?^X,+ + p"X„

et alors V c.s7 un /jolt/nûme.

Si enfin Y est une fonction harmon'ujue régulière dans tout l'espace, sauf i» l'infini, et si l'on a :