AU=SAU
et comme : ,
AU„=0, on déduit de là :
Donc la lonction U est harmonique dans T : le théorème de Ilarnack est démontré.
CIIAIMTIIE VI
DOUBLES COUCIIKS
98. Définition d'une double couche. — On est amené à considérer dans la ihéoiie du nia<^nétisnie des systèmes attirants formés de deux couches attirantes infiniment rapprochées :ivi" et telles qu'en deux points correspondants de ces deux couches les densités soient égales, de signes contraires M' et ti-ès grandes. De pareils systèmes s'appellent doiihlcs couches.
Précisons cette délinition.
Soit M' l(ig. 07) un [)oint attirant, m sa niasse, et M un point attiré. Désignons par x', y', z' les coordonnées du point M', par x, y, z celles de M et par r la distance MM'. Le potentiel newtonien Y dû à la masse m a pour valeur au point M :
Fi g. 67.
Supposons que, M restant fixe, M' se déplace, et soient ç, r,, ^ les composantes de sa vitesse; les coordonnées x', y', 7! et le potentiel V sont alors fonctions du temps t. On a :
dx^ "ÏÏF
"dT
et
dV
dt
Ox'
Oz' --^
11b T UEO RIE DU POTESTIEL AEWTOMEX
La variation dV du potentiel pendant un temps très petit dt est donc :
dV
Pendant ce temps dt, le point INI' est venu en M" et dV n'est autre que la différence de deux potentiels : l'un dû à la masse -f- 111 située en ]M'', l'autre à une masse égale située en M'; on peut aussi regarder dV comme la somme de deux potentiels : l'un dû à la masse -\- m située en M", l'autre à la masse — m située en M'.
L'expression d\ est donc encore un potentiel newtonien, celui qu'engendrent deux masses très voisines l'une de l'autre, égales et de signes contraires. C'est, par exemple, le potentiel d'un très petit aimant dont le pôle austral serait en M" et le pôle boréal en M'.
Considérons de même un volume attirant; son potentiel est exprimé par l'intégrale :
Supposons que chacun des points attirants ^I' se déplace, pendant un temps très petit dt, d'une très petite quantité M'M" dont les projections sur les trois axes de cooi'données soient ^dt, rjdt, Çdt ; la variation t\\ du potentiel sera :
dv ' '
Cette intégrale peut être considérée comme le })otentiel d'un volume magnétique, chaque élément d-:' de ce volume ayant un moment magnétique dont les projections sur les ti't)is axes sont:
Ix'duWç, '/dld-'r,, i^did-X-
examinons enfin le cas d'une surface attirante ; son potentiel V est représenté par l'intégrale de surface :
iji'dto'
Duiin-Es corciii:s -si;
Km opérant comme précédemment, on est conduil ;i envisafrei' 'intégrale
r 1 a'dt
■ — : do/.
Cette intégrale peut être considérée comme représentant le potentiel dû a des masses attirantes répandues sur deux suilaces 1res voisines dont les points se correspondent de manière <[u en deux points correspondants les densités soient égales <'t de siones contraires; le segment déterminé par deux points correspondants a pour projections, sur les axes de coordonnées, ;dt, Y.dt, 'Uh, les (juantités ;, r., : étant des fonctions de x', y', z' ; la direction de cette ligue varie donc d'un point h l'autre de la surface.
On peut encore considérer l'intégrale (1) comme le potentiel engendré par une infinité de petites aiguilles aimantées implantées dans la surface, la direction de l'aiguille qui perce la surface au point x', y, z' étant celle du vecteur ;, r.,:.l'ne telle distribution de masses attirantes s'appelle feuillet inaiinéliqiie.
11 est clair que, dt étant très petit, le potentiel d'un feuillet magnéti(iue est lui-même très petit, si la densité ^ est lime, f.n gém'ral on suppose la densité très grande de façon que le produit ^'dtsoit lini. Le potentiel prend alors une valeur finie et on peut l'écrire :
f ,[4 . 4 ^4.ido/,
-/ avant dans cette expression une valeur (inie et désignant la même chose que ;j.'dt dans l'expression (i).
Supposons maintenant que le vecteur ;, Y,,t;soit, en chaque point, normal a la surface, c'est-a-dire que l'on ait :
a', ^i', -' désignant les cosinus directeurs de la normale au point
2i8 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIE N
x', y', z' ; le feuillet prend alors le nom de double couc/ieet le potentiel s'exprime par l'intégrale :
99. Étude du potentiel d'une double couche. — Soit V le potentiel d'une double couche S ; on a :
ce qui peut s'écrire
Po
sons
3',a'do>'
'a'do>'
la fonction V prend la forme :
On voit par là que, les fonctions U^, U^, U^ étant des potentiels de sii)ii>lcs coucltcs, c'est-;i-dire des potentiels de surfaces attirantes ordinaires, la lonction V se comporte comme les dérivées premières de ces potentiels ; en particulier, la fonction doit éprouver une discontinuité quand le point attiré se déplace en franchissant la surface S. Nous étudierons plus loin cette discontinuité; jemartjuons pour l'instant ([u'en veilu de la formule (2), le potenliel (Vune double couche est une foinlion /i(i/7fiof(i(jue en fout
DOini.ES COI VUES 219
point (le l'espace scttif sur Ici surface (j/ti porte la double couche elle-même.
100. Avant (r»'tiulier ce qui se passe sur la surlace elle-inèine, donnons au potentiel une nouvelle forme qui nous sera très utile clans ce qui va suivre.
Reprenons la IcMinuli' l et considérons l'expression
