Altues nEMAtîQiES. — Soit une lonclion V harmonicpie

RÉsonTioy DU pnoiii.r.Mi: de diriculkt 211

à rinttMirur (111110 spluTC Sj sauf au centre O. lintouions ce point d'uiu' potite sphère S^. On a :

pour z compris entre z^ et c^. Mais p^ est quelconque. Donc ce développement est valable pour tout le domaine limité par Sj. Si on a :

ivi<^,

t •il S) tendant vers zéro en même temps que p, on volt comme ci-dessus que X „ est nul.

Donc si :

on peut écrire :

La démonstration est la même ([ue pour la proposition analogue du paragraphe précédent. Dans ce cas, le produit z^' reste fini

il l'origine.

Si la Ibnction \ est en outre harmonique et régulière ii T extérieur de Sj et mémo ii l'infini, on a simplement :

^ = -T^ + -TT-+ ••• + ^;r-^-

Enfin si on a en plus :

|V|<-f, V se comporte comme un potentiel a l'infini et alors on a :

97. Théorème de Harnack. — Soit un domaine T. Considérons une suite de lonctions :

définies dans ce domaine. Nous ferons les hypothèses suivantes :

212 TllKOniE DU rorEXTIEL NEWTOMEX

ï"... toutes les fonctions V sont harmoniques dans T. 2°... toutes les fonctions U sont positives dans T. i?"... on peut assigner un nombre positif K, indépendant de n et du point x, y, z choisi dans T, tel que :

Ui + l',+ +U„<K.

Voici une première conséquence. La série :

est convergente en tout point de T. Sa somme est donc une l'onction de x, y, z définie dans T. Je dis que cette fonction est harmonique.

fin:. <i.i.

Prenons en ell'et, dans le domaine T, un point M^, quelconque (lig. ()()). hlntourons ce point d'une première sphère S' située tout entière dans T, puis d'une seconde sphère S concentrique ii la première et intérieure ii celle-ci. Soit M' un point de S' placé au centre de gravité de l'élément do)' de cette sphère. Appelons r,,' la valeur de U„ en M'. Pienons maintenant un point ÎM ii l'intérieur de S et appelons l „ la valeur de la fonction envisagée en ce point. Posons :

âpïx^o, MM ' =: r

ni:soi.v 1 1<).\ DU ritoiu.i: me d i: diuiciili:!' ■i\\

«•l cU'si<^ii()iis par a le rayon d<; S . Puis([ue l'„ est harmonique dans S', on a :

Posons

On a

D'où

Donc la série

Js'i 4-ar

Va,,— / iL'„d(.>'.

0<VA„<4-a-K.

dont les termes sont tous positifs, est convergente.

11 est clair ([ue r ne s'annule jamais, si, comme nous le supposons, M reste dans S et M' sur S'. On a :

en appelant 1) le rayon de S. Donc 0 et ses dérivées successives sont des lonctions qui restent toutes finies. Posons :

ùy

On a

eVO

Ox-^

<B„ etc.

-;i — = L „ dcu

Ox J . Ox

Ox- /^ Ox-

. etc.

2i4 THEORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN

D'où :

etc.

Considérons alors les séries

ou, ou, ou,

<)x Ox Ox

Ox'- Ox" Ox"

Elles sont toutes comparables à la série :

Donc elles sont toutes al)solunient et uniformément convergentes clans S. On conclut de là que leurs sommes sont des fonctions continues dans le même domaine et qu'elles ont respectivement pour valeurs