COS
Le double signe provient du double signe de cos'^, c'est-a-dire
THEORIE DU l'OTEyriEL .\EWTO.\IE.X
(les deux sens possibles sur la normale. Comparons les deux formules précédentes ; il vient :
"ThT"
et l'élément dV de potentiel dû ii l'élément dto' a pour expression :
(i) dV=i^;Alcr'.
On peut l'écrire :
:2) dV=;/dcr',
en convenant de donner un siane à do-'. Pourvoir comment nous devons choisir ce signe, traçons ^Tlg. ()9j les deux sui'laces infiniment voisines ; appelons S, celle de ces deux surlaces où la densité est représentée par la fonction 'j.' , et S., l'autre surface où la l'g- 'J'"*- densité est représentée par — jj.'.
Soient aj), et aj)^ deux éléments correspondants d'égale étendue cW ; soit enfin M le point attiré. Joignons le point M à un point de l'élément a^b, et supposons que cette droite ne rencontre la surface S^ qu'après avoir traversé S, ; il est clair que le potentiel tlù ii l'ensemble des deux éléments a, au point M, le signe de -f- ^', c'est-à-dire le siffue de la densité sur l'élé-
ment aj),. 11 faut donc choisir le signe + dans la formule! I\ c'est-ii-dire considérer d^' comme positil dans la lormule (2).
Au contraire, si la ligne (pii joint le point .M il l'élément d(o rencontre S^ avant S,, il laut considérer d-r' comme négalil. l'.n daulres teinies, si l'on aj)pelle ((Uè positif de S celui de S, et ro'/t'//r,;'y///y"celuideS^,on piendra comme sens positif sur la normale
Dorni.Fs COI riir.s 2-21
celui qui va du côté néoiitilau côlr posltil"; par suite, réiémeuf do-' de la sphère de rayon 1 <pii ctn-respoud ii iêlénient du>' de S sera considéré comme positif si d(o' présente au point M son côte positil, et comme négatil si do' présente^ son vùM^ négatif.
delà posé, 1 expi'csslon du jiofciitn'l dû ;i la double coiulie tout entière est
C'est la formule que nous voulions étahiir.
101. ^ ovons maintenant ce qui se passe ([uand li^ point attiré- M se déplace et franchit la surface.
Traitons d'abord le problème en supposant la ilensité constante. Le potentiel pi-end alors la ft)rme :
Nous distinguerons deux cas :
i*''(v/.s'. — Supposons ilig. 70i ([ue la sui l;ice ail uiir lorme et une position telles que toute droite Issue àx^ M in' ])uissç la lencoii-
Fisr. -.
trer qu'en un seul point. Dans ce cas, ses éléments présentent tous le même coté au point M, les ([nantîtes ài' s'ajoutent, car elles ont toutes le même sione et leur somme est lanole solide 12 sous lequel la surface est vue du point M. L'expression du potentiel est donc
222 THEORIE DU POTENTIEL XEMTOMEy
l'angle solide Q étant positif ou négatif suivant le coté de la surface qui est tourné vers le point ^I.
Vu cas de ce genre est réalisé si la surlace S est une portion de plan. On voit alors immédiatement ce qui arrive lorsque le point M se déplace et vient traverser le plan en un point de la double couche. Si le point M tend vers ce point du côté positif du plan, l'angle 0 tend vers 2- et le potentiel vers -|-27:;j.'; si au contraire M tend vers ce même point du côté négatif, l'angle solide ii tend vers — 2- et le potentiel vers — 2~'x ; le potentiel dune double couche plane subit donc une augmentation I^rusque de 4-|jl' quand on traverse la douille couche en allant du côté négatil au côté positif.
'l'écris. — Supposons ifig. 71) la surface S telle que certains ravons vecteurs issus de M puissent la couper en plusieurs
points. C'est le cas général. A un même élément do-' de la sphère de ravon 1 tracée autour du point M, peuvent correspondre plusieurs éléments doj'j, dco',> do)'^ — de S; supposons que X de ces éléments tournent leur côté positif vers le point M et que X tournent leur côté négatif vers ce même point M. Considérons alors d? comme positit ]tour tous les éléments possibles de S ; nous pou rions écrire :
C'est cette intégrale qu'il s'agit d'étudier au voisinage de la surlace ; cette étude se fait sans peine dans le cas d'une surface lerniée et le cas d'une surface (pielooiu|ue non lermée s'y l'amène.
DOUIiLF.S COrCIIES 2i3
Traitons donc d'abord le cas dune surlace fermée.
Trois circonstances peuvent se présenter: le point M peut être intérieur à la surface, à l'extérieur de la sui'Iace, sur la surface.
Supposons-le dahord ii lintérieur. Tout rayon vecteur issu de M coupe la surface un nombre impair de lois lig. 72) puisqu'on
part de l'intérieur et ([u'on va \\ l'extérieur. Les divers éléments de surlace renconti'és successivement par un même ravon vecteur tournent alternativement leur côté positif et leur côté négatif vers le point M. On a donc :
et
(.)n doit choisir le signe -f- et écrire Y = 4-^/ si c'est le côté positif de la surface qui est à l'intérieur; on doit, au contraire, choisir le signe — et écrire A= — ^-<x si le côté positif de la surface est le côté extérieur.
Supposons maintenant le point M i» l'extérieur de la surface lermée ; on voit alors (fig. 73 1 que tout ravon vecteur issu de M coupe la surface en un nombre pair de points et ([ue l'on a :
d'où l'on conclut
THEORIE DU POTEMIEL yEWTOyiEX
Ainsi, en tout point extérieur à la surface, le potentiel est nul ; en tout point intérieur, il est constant et égal à d: 47:a' ; il l'ait donc un saut brusque de 4-u' quand on franchit la surl'ace.
Supposons enfin le point M situé sur la surface ; supposons en
outre qu'en ce point la surface admette un plan tangent Ijien déterminé. Deux cas peuvent alors se présenter.
Dans le premier cas (fig. 74), la surface S est tout entière située dun même côté du plan tangent. Tout rayon vecteur issu
tic M ne couj)e la surface qu'en un nombre impair de points autres (jue ^I ; la dillérence N — X' est donc égale à ± 1 et l'intégiale I iW n'est étendue qu'à une moitié de la sphère de rayon 1. Par suite, on a :
Dans le second cas (fig. 7.')), le plan tangent partage la surlace
Dorin.r.s corciii.s
en deux paities : AM B et AMB. A eluicime d'elles corresixtiitl une moitié de la sphèie de rayon l. Pour tonte la pai'tie AM B,
un rayon veeteur ([ueIe<MHjue issu de M rencontre la suilaee un nonihi'e impair de lois; on a donc:
et 1 inté<j;i'ale <x \ à-j' X — Xi, étendue à riiémisphèie coiiespondant. est éoale ;i =t2-'j.'.
Pour la seconde paitie AMB de la surlaee, un ravou veeteui' issu de M renctuitre S un nombre pair de lois : on a donc :
et 1 intégrale <j.' 1 X — X i d? étendue au deuxième hémisphère est nulle.
Ainsi, dans tous les cas, le potentiel a pour valeui- en un point quelconque de la surface :
On choisit le signe -|- ou le signe — suivant que le côté positif de la surface est le côté interne ou le côté externe. On voit que la valeur constante du potentiel sur la surface est la demisomme des valeurs constantes qu'il a ii l'extérieur et à l'intérieur.
Poi>t:ARÉ. Poteiit. Xewl. lï
(pliant aux dérivées, elles sont nulles à l'intérieur comme à Texterieur et n'éprouvent donc aucune discontinuité quand le point M (ranchit la surlace.
f.e problème est ainsi complètement résolu, dans le cas où la densité est constante, en ce qui concerne les surfaces fermées ; passons au cas d'une surface quelconque.
102. Soit (fig. 70) S une double couche quelconque limitée par une courbe C ; cette surface S, ayant deux côtés, on peut en tracer une deuxième S', limitée ii la même courbe C et telle que l'ensemble de ces deux surfaces constitue une surface fermée. Traçons donc S' et supposons «jue cette surface porte une double couche dont 1 épaisseur et la densité soient les mêmes <{ue celles de la double couche donnée. Appelons V le potentiel de S, V celui de S' et AV celui de la surface fermée ; on a :
'^ Considérons alors deux points M,
"^ ' ' et ^Nlg situés de part et d'autre de S et
1res voisins l'un de l'autre; puis désignons par AV,, \\, A',, les
valeurs des trois fonctions considérées en Mj et pai' AV^, \ ,, \ '^
leurs valeurs en M., ; on a :
