AV. — AV

De plus, les points AI, et AI., n'étant pas situés au voisinage de S', la fond ion A ' est continue en ces points et la dlHercnce V', — V, est infiniment pelite ; r<'galité (l) devient donc :

DOUIiLF.S COUCHES

Soit maintenant M„ nu |)t»iiit situé sur S entre les points ^[, et Mj : d<'signons par \\\, \\, \\ les valeurs des trois potentiels en M„, on a :

l>e deuxième tcrmi' du second membre est inliiiimeul petit puisfpie \ est continu au voisinage de M^ ; le premier membre est nul j)uisfjue ^^' désigne le potentiel relatif à une surface fermée ; donc le j)remier terme du second membre doit être iidlniment petit et l'on voit que \\ est la demi-somme de ^, et V^.

Ainsi, dans le cas où la densité est constante, (piil s'agisse d'une surface fermée ou d'une surface (|uelcon([ue, le potentiel tl'une double coucbe croit brus([uement de 4 -a' (piand on fianchit la surlace en allant du côté négatif au côté positif; sur la surlace, il prend une valeur égale ii la moyenne arithmétique des deux limites vers les({uelles il tcntl quand on s'appi'ocbe indéfiniment de la suilace du côté positif et du côté néoatif.

Quant aux d<''rivé'es premières, elles n'éprouvent aucune diseontinuitt' (piaud le point attirt' ti'averse la double couche. Cela est bien évident puisque les dérivées de ^^' sont partout nulb's et que celles de ^ ' restent continues au voisinage de S.

103. — Abordons maintenant le cas général oii la densité est variable d'un point ii l'autre de la surface.

Xous ierons les deux hypothèses suivantes :

i" La fonction 'x reste finie et continue ; on peut alors trouver un noml)re A fix(^ t(d qu en tout point de la surface on ait :

2" La surlace proposée est telle qu'une droite quelcoiujue ne la coupe qu'en un nombre limité de points ; nous appellerons X une limite supérieure de ce nombre.

(]es deux hypothi'ses nous lournissent une limite supérieure des valeurs du potentiel. Soit en effet d-' un élément de la sphère de rayon 1 considérée précédemment ; à cet élément correspon-

238 THÉORIE DU POTEyriEL yEWTOMEX

dent plusieurs éléments de la double couche ;^en nombre moindre que X) et par suite plusieurs éléments de l'intégrale :

Désignons par S <j.' d^' la somme de ces éléments ; on a :

|l;Vd^'|<NAdy,

et par conséquent :

|V|<JxAdT',

c'est-ii-dire :