CAS DU CYLINDRE DE RÉVOLUTION
Le potentiel du cylindre total en M est donc :
V = f2 ti'dto'. log ^,
l'intégrale étant étendue à tous les éléments dw' de la section droite S. Le calcul du potentiel newtonien cherché est donc ramené à celui du potentiel logarithmique de la section droite qui passe par M. On ramène de même le potentiel newtonien d'une surface cylindrique au potentiel logarithmique du contour de la section droite.
Z'::^ay
Fig. la.
Fig. i3.
16. Cas du cylindre de révolution. — 1® Surface cylindrique , — Les considérations précédentes nous permettent de calculer le potentiel newtonien d'une surface cylindrique (fig. 13) homogène de révolution. Ce potentiel se ramène au potentiel logarithmique de la section droite qui passe par le point attiré M, c'est-à-dire au potentiel logarithmique d'une circonférence. On voit sans peine que le potentiel newtonien cherché est :
V = 2jx'rdsMog-^,
z 'i-^lz^à-i Ià di*t»!i^-** -i;i f^^: >l a Taxif et r^ avant la signîfi- . irivr. L4b*:a-^lIi? 2 % kb. •>! F*^'^ Amic écrire :
•la II* c*^ deux expre**£«>a*. J* e>: relemetit d'arc de la circonféri^&ce. Si L e*tlj Iva^ueor de la cîrcoDiereiice. M la masse totale '\^ la «•arl'ace cjiîndrîqae. a et — b les cotes des bases, on a :
•^ ~~ S ~ La — b
di»rjc on a :
oii en conclut sans p»^in»:^ l'attraction en prenant la dérivée. Tout se passe comme si la niasse attirante était concentrée ^ur Tax^ du cvlindre. Hn voit de même s;ins difficulté qu'à Tint#'Tieur le potentiel est constant et êifid à :
W d/rsir(naiit le rayon de cylindre. Quant à l'attraction, elle est nulle.
Tout cela suppose le cylindre infiniment allongé.
2" Vftliinie cylindrique. — Le calcul est encore très simple; on partage le volume en couches cylindriques très minces, conc^'iitriques et assimilables à des surfaces cylindriques attirantes; on est ainsi ramen** an cas précédent.
Kn un point cxtériiMir l'attraction et le potentiel dépendent de ^ HfMjlement; ils ont la même valeur que si toute la niasse était condf'UHée sur Taxe.
I'!n un point intérieur, les choses se passent différemment ; le résultat ne déduit de la considération du cas suivant.
.'$" Masse alliruntc comprise entre deux cylindres concen-
CAS OU VYLlSaHH UK HÉVOLUTIOy
^Irif/ries. — Nous siipposuiis que la clilTôrence des deux rnyoïts ? qunntité finie. Kn un piMnl M extérieur iiu plus grnnd nllndre iTig. 14\ le potentiel est, comme l'iittruetion, une fonction ; p seulement; tout se pusse doue eonime si la musse étnit eon- Eiensér sur Taxe; le raisonnement est le même que dans le eus pécédeut : on décompose la niasse sittirante eu une infinité de touches cylindriques, coueeutriques, assimilalilcs ii des surfaces.
En tout point M, intérieur à la cavité, le potentiel est conslniit l'attraction nulle, car tous les points M, sont intérieurs îi toutes es couches cylindriques.
Si donc 'dg. 15) nous voulons évaluer le potentiel et l'altraeion en nu point M intérieur ii un cylindre plein, nous décompo- 19 ce volume en deux parties : l' un cylindre concentrique au iremier et passant par le point M; 2" le reste du volume, c"est-iilire lu portion comprise entre lus deux cylindres. Le potentiel en M est la somme des potentiels de ces deux volumes et l'utraction se réduit a celle du cylindre intérieur. Le raisonnement
THEORIE DU POTENTIEL NEWTOyiEN
est exactement le ni^nie que celui que nous avons fait (§ 10) pour une sphère pleine.
17. Potentiel neivtonien d'une circonférence. — Proposonsnous de calculer le potentiel uewlonien d'une circonférence en un point quelconque M de l'espace .
Représentons (fig. !(>) la circonférence C en perspective. Soient OZ Taxe de cette circonférence, P un point de celle-ci, r sa distance au point M.ds' un élément d'arc de C ; le potentiel V en M est :
