MA — OA I < I MQ + QA — OA
ou :
I MA — OA I <| MQ — OQ | ;
Terreur relative est donc négligeable, puisque MQ et OQsont finis et de Tordre de x, y, z.
Bref, la somme QA+MA est très voisine de 2a; la somme QB+MB est de même très voisine de 2b. On peut donc écrire :
a) V = p.' [log 2a -f- log 2b — 2 log o |
= |i.' [log 4ab — 2 log p]
r, , , 2 V^ o / 1 ^0 2 M , r„ = 2 |i' log — ! = 2 uL'loff— ^ = i-loe:— -
en posant :
r, = v/iTb7
Quant à Tattraction, elle a pour expression — —z .
Ainsi le potentiel newtonien d'une droite très longue est le même que le potentiel logarithmique d'un point situé eu Q. Cela cesse d'être vrai si le point M s'éloigne Indéfiniment, car
dans ce cas on ne peut plus négliger les quotients — , -j-,...et('.
Cela explique un paradoxe : un potentiel newtonien identique à un potentiel logarithmique semble un résultat contradictoire, car à l'infini le premier s'annule, tandis que le second est infini. Dans l'exemple précédent, nous avons vu (jue cette identité n'a
ji THKi)HIE bl' PUTESTIEL SEWTOSIES
li<*u (jui' ])ouril«'s points situés à une petite distance de la droite :ittiriintr, dîstuiii'«* néf^Ii^eable devant leurs distances aux extréiiiitf's d«* la droite.
H<Mnar(|uons encore que Texpression de V ne dépend que de
s — V x^ -- ^' «'t "<»H de z: cela veut dire que, quand z varie s<îul, V varie très li-ntement : il faut se souvenir, en effet, que la lorniule i n'est qu'approximative.
l'^iisoiis une drrnière remarque ; nous avons trouvé
Il sriiiMr (|ue V <!t''prii<le du choix de l'origine; mais, si l'on pn-nd di'ux oiijriin*s () et O à distance finie Tune de Tautre, li'Xprrssioii dr \ chanj^o très peu.
15. Potentiel newtonien d'un cylindre. — Soit ,fig. 12} un cylindre dont la section droite est une courbe quelconque. Prenons Taxe des z parallèlr aux «^ôurratrices. Supposons ce cylindre rempli de matièrr attirante et limité à deux sections droites dont
les cotes sont :
Proposoiis-iious <le calculer le potentiel newtonien de ce cvlindrt* en un point M dont la distance au cylindre est uéglljrcable di'vanl a et 1) ; nous ellecluerons le calcul dans l'hypothèse où la densité a de la matière attirante en un point Q dépend seulement des deux premières coordonnées x et y' de Q et non de la trcMsièmt* coordonnée z .
Traçons la seclicni droite S ([ui passe par M et décomposons l'aire S en éléments do) , puis découpons le cylindre en une infinité d<» cylindres élémentaires parallèles à OZ ayant respectivement ])our bases les éléments dd)' de S.
In cvlindrt* élémentaire est assimilable à une droite attirante dont la densité linéaire serait •xild»; soit (I Tun des cvlindres; il |)erce la section S en (^); son potentiel en M est :
•) ' 1 ' 1 " 1 adw . locr ,
en posant M(^) =^ r (voir S 14) et r,, = 2 y âïT
