X°. IV
Quand n augmente indéfiniment, la valeur asymptotique du module de ce terme est :
n-". e y/ -i-'n* ou, en supposant x :-=y:
Vttu
ce terme ne peut tendre vers zéro que si l'on a :
Si donc le module de x est supérieur à tj, le nouveau développement est certainement divergent, alors que le premier est encore convergent pour toutes les valeurs de .r inférieures
DÉVELOPPEMEST SVIVAST LES PUISSANCES ENTIÈRES DE -V, }', Z 5i
Une pareille circonstance ne se présente pas pour les séries il termes positifs.
24. Développement du potentiel ne^w^tonien suivant les puissances entières de x, y^z. — Revenons au potentiel. Nous avons démontré que le potentiel newtonien est développable en série de polynômes sphériques autour de l'origine, quand celle-ci est extérieure aux masses agissantes. Montrons maintenant que, dans la même hypothèse, la fonction V est holomorphc au voisinage de Torigine, c'est-à-dire que, dans une sphère assez petite ayant pour centre Torigine, elle est développable en série do la forme
> Ax"'v"zP,
m,n,p étant des nombres entiers positifs pouvant prendre toutes les valeurs entières de zéro à Tinfini.
Pour le voir, rappelons que Ton a :
r^ ^= p"^ — 2 pp' cos y + p'^ = x^ + v^ 4- 7} -^ 2 xx' + 2 vy' + 2 zz' + x'- + v'- -f- z'-
et posons :
Iw -\- 1 vv -}- 2 zz — X- — y- — z-
On a, en comparant r* et X :
d'où :
Développons (1 — X) 2; on a :
ri, par conséquent,
Dans cette série, les coefliicients a sont tous>0.
Vi THÉORIE DV POTESTIEL SEKTOXIES
Développons maînteiuint X en série entière; nous sommes ainsi conduits, en transformant la relation (1), a représenter - par une série de la forme
— =N Ax'"v"zP.
et à représenter V par la série suivante :
2 V = V x-^v"/»' / A uih'.
C.e dév<»loppement est-Il convergent et représente-t-îl bien la fonction V? Nous allons le démontrer en prouvant que ce développement
Vx"'vV / A'ji'dT',
est une série al)solument et uniformément convergente. A cet ellet, posons :
X ^ - ^0?^ + - >'"?' + - ^'-?' + ^"' + Xo' + V .
en appelant x^y^z,, les modules de x,y et z, et considérons le développement suivant
^ ^ A \:!'v!:zî:
(\ V / ii"0
{étudions la série
Comparons d'abord les coellîcienls A„ aux coeflîcicnts correspondants A.
Tous les coedicients X^ sont positifs; tous les a le sont aussi; donc tous les termes du développement ;.'J) sont positifs, et par suite, les A^ le sont également. (Considérons, en outre, deux puissances égales de X et \^i X' et X^'* ; chaque terme de X^** est plus
DÉVELOPPEMEST SlIVAyT LES Pi'ISSAyCES ENTIERES DE -Y, Y, Z 53
petit en module que le terme correspondant de X^'' ; on en conclut rînégalité suivante :
Cela posé, reprenons la série (b) ; dans quel cas converge-t-elle? Elle convergera, si Ton a :
comme on le voit en se reportant aux égalités (3).
Pour que \^ soit plus petit que 1, il suffit que Ton ait :
(4) 2.o'(x, + y. + zJ + ?*<p'^;
or on a :
on a donc aussi :
I Xo + yo + 3^-0 I <?V^'^ et la condition (4) sera remplie si l'on a :
ou bien
c'est-à-dire
c'est-à-dire enfin
et, à fortiori, si l'on a :
a désignant comme au paragraphe précédent le rayon d'une sphère fixe, ayant l'origine pour centre, tracée de manière à laisser à son extérieur toutes les masses agissantes, enfin contenant le point M où l'on étudie le développement du potentiel.
Supposons donc cette condition remplie; alors X^ est inférieur à 1; la série (b) converge. Considérons maintenant la série suivante (c)
ïi raeoRiE Di roTExriKf. .f£wroMK\
oii ;ji, désigner ua nonibr« positif sii{iémar ù {[t|; cette séril couvcrgr coiuuir la srrtc (b), Enlin rumpnrons notre série (c) I la série êladiée;ii;.TouslF!; termrsde a sunt inférieurs en moduq à ceux de [c); or (c) est une série a termes positifs et l'Ile coiiverei doue (d) est absoloiueut coDvergftitf.
La rel.itinn 2) est donc justifiée.
Ainsi le potentiel ne%\ton!en est développuble autour de Tori gîne en série entière procédant suivant les puîssnnces de x, v, i
Ou peut efTecluer, de même, le développement au voisinai d'un point quelconque (x, y^ 2, extérieur aux masses; le dfr luppement procède alors suivant les puissances de ;
On peut donc énoncer eu généiiil le ihêurème suivant : «>fs(«rt^e (/"wrt point \.r^, y,. ;,/ crtrrieiir aii.r masses agissantes^ le potentiel netflonîen est une /onction holomorphe, c'esl-à-iiirt
ttéveluftpabh croixsitnles île r — r^, if — ff^ t — I.R démonstralioti u'a été laite qi elle s'applique évidemment saus m Irîbution quelconque de inasseR.
pinssanct
<• pour un volume nttïriint;^! idilication nu cas d'une dis-l
25. Autre développement en série du potentiel ne'wtonien. Considérons maintenant (lig. 2U un volume attirant T et un ] point M extérieur ;i ce volume, siluê de telle sorte qu'on puisse 1 tracer une sphère S contenant le volume T tout entier, mais lai snnt le point M à son extérieur.
Prenons le centre O de cette sphère comme origine des con données.
Si Ptf'-V f' ■' unt 'es mêmes sigiiiliialious que précédemment, I
