POTENTIEL LOGARITHMIQUE
tiel logarithmique dans le plan. Soit (fig. 21) une surface plane attirante S, P un de ses points et O l'origine des coordonnées supposée extérieure à S. On peut tracer un cercle C ayant le point O comme centre et tout entier extérieur à Taire attirante S.
Fig. ai.
Soit, en outre, M un point attiré situé à l'intérieur du cercle C, X, y ses coordonnées et x', y' celles du point P. Appelons o, p', r les distances OM, OP et MP. Posons :
x4-iy = z,
on a :
Soit [x' la densité de la matière attirante au point P; la valeur V du potentiel logarithmique en M est :
v=r[jLMog-î^doi'.
dto' désignant Télément infinitésimal de Taire S et Tintégrale double étant étendue à Taire S tout entière. La valeur de V n'est autre que la partie réelle de Tintégrale.
ni i : j - ' . ri -r II ^ivr:
^'••li'il-. -lO»"— Sml :i
= L Utt tfX
:' :-• L>: :-izj> >. <•- j^uî développer ■---•^ } .- <-'-ii.: *i:v4nî le> puissances
Va.,
::vrr T.jnie ; on peut donc
\\ r.r I ...J ^- ^-i' — Vz' ( —A, lldbJ
]•-* iji»'-jf **'*'" 'i"'il'-*> vt.iMt ►-:•:- :ivlii»"-> j 1 aire S. Kn prenant les i*;irtl*-* i»'*-\\*'^ •!•-'=' ilitlv: •-:ft> tri!r.«->. mu voit que la série du *i'(tfii'\ ïn*-ïu\fï*- 'I** 1 ••\j»i »'>>ion l dniiiu- lit^u pour V à un dêve-
|r*ii|wriH*iit pior^'duiil >iiiv;iîit !♦•> ]niis>anct.'> croissantes de — ;
et' i\i\i']itt,t)i^ui*-uX f>i [i!*'C«'«lt.-. tlan> 1 t.'\|no<>loii Jo \ , par la par-
M <Usigiiîiiit la mass<' alliraiilo lolalo ; c«-tle partie réelle est :
POTENTIEL LOGARITHMIQUE 6i
Le développement de V est donc de la forme :
V =J'm log-^+^R„.p-cos (nw — e„)
en posant :
J(— A„)[ii'dto'=R„e'«-,
z = pe*"'-
Remarquons que l'expression :
p-"cos(nw — 6„}, peut s'écrire :
p" * ". p" cosfno) — Ô-"! =
X„ étant un polynôme entier, homogène, de degré n en x et y, satisfaisant, en outre, à l'équation de Laplace. Finalement on a :
v=Miog^+y4^.
On voit immédiatement, sous cette forme, que l'expression de V ne contient pas de terme indépendant d'x et d'y; en outre, lorsque le point M s'éloigne h l'infini, le potentiel V a pour valeur asymptotique
M log -^,
résultat que nous connaissions déjà (§ 8)-
i.î! APITRK II
>::; *. :-\ :> ?■ .>t int^rieir aix masses agissantes
. «'j à !• ! ritiu* jv.i;.* -rai;»? 1^ p«>tenîiifl rn des points extérieurs .\ ::. j-s-s j*tir.»r»'-s: rii^us jîli»r*> nijintenant étudier ce qui se
(. I--- .j.jj:» 1 Ir- jMiiiit jtîîr'- r:>: situo ju s«*în nii^nie de ces niasses.
<--■••■ rtU'J»- r^p«i?»? >iir îa oi'nsideratiiïn d'intégjales portant sur !•-* ti:ir-tiori< <{uî i.lr'\i»Mi:iii':ît iiitiules |Hiur un point du champ i i:it'-^'ratiiiii : i-<»mm*rQi;i»n> ilono |*;ir établir les propriétés de
. .-- Mif#-^r;il»*>.
! f/tft'iff .if»'s sinif/f.t's. — (..on>iJ».'!i.tiis I intégrale définie
/ t \ ilx. a< b.
Si l;i lonctioii 1 \ devient intiiili' pour \ ^ a, la définition onliiiiiire d'* l'liit<'*;;r:ile ne s*;i|)[)Iii|ne plus et Tintégrale n*a plus A*- ^Mis; pour lui en donner un. on modifie la définition. On
lii définition ordinaire s y :ippli({ne ; soit J, sa valeur: si J, tend vi rs une limite J (pjîind £ tend vers 0, linté^rale est dite t*on^ vi'i *:i'nti* «'t l'on représente cette limite J pur la notation
Si, au roniraire, J, augmente indéfiniment ou n'a pas de limite,
CONVERGENCE DES ISTEGRALES
(|uand £ tend vers 0, Tlntégralc est dite dwergente et le symbole
I f(x;dx
11 a aucun sens.
Voici des exemples de ces deux cas. Si Ton peut trouver un nombre a < 1 tel que Ton ait
(fx)
la limite J existe et l'intégrale est convergente. Si, au contraire, on peut trouver un nombre ^ > 1 tel que
}^ augmente indéfiniment et l'intégrale est divergente.
2** Intégrales doubles. — Soit une aire plane S (fig. 23), limitée par une courbe fermée C, et une fonction f (x, y) devenant infi-
nie en un point O de Taire S, mais restant continue en tous les autres points de Taire.
L'intégrale double
étendue à tous les éléments dw de Taire S, ne rentre pas dans la définition ordinaire et n'a aucun sens par elle-même. Pour lui en donner un, entourons le point O d'une petite courbe fer-
rilÉOHIK DU POTESTIEL SEM'TOyfES
miM» (!'; appelons S' Taire ciiforinée par la courbe C, et S" l*îilre comprise cnlre les courbes Cl! et C; Tintégrale
étendue à Taire S ', a un sens el sa valeur varie quand la courbe (1' change de grandeur et de forme. Supposons que J^' ait une limite J quand la courbe i.\\ diminuant d'étendue dans tous les sens, vient s'évanouir au point : on prend celte limite pour
définition de Tintégrale 1 1 f .^x, y) dto; on dit alors que Tin-
tégrale J,.- est convergente.
Dîins le cas contraire où J,.- n'a pas de limite finie, Tintégrale
J,.. est dite divergente et Tintégrale j I ^ n'a aucun sens.
