Dans quels cas Tintégrale J,.- est-elle convergente? En

voici un. Posons

et admettons que Ton ait en tout point de Taire S :

on peut alors affirmer (jiie J,. est convergente. Pour le voir, sup-

posons d'abord la fonction f.x, y'i positive en tout point de S. Traçons, autour du point O (fig. 2Vi comme centre, deux cercles,

COyVERGESCE DES INTÉGRALES 65

Tuii Cq, de rayon r^, que nous laisserons fixe ; l'autre plus petit C dont nous ferons tendre le rayon r'' vers zéro. Enfin, pour simplifier le langage, désignons par les symboles

If • ff ' ff '

les intégrales étendues aux aires comprises respectivement entre les courbes : C et Cq, C et C", Q et C". L'intégrale

a un sen«; elle est > o et augmente quand r" diminue. On a, de plus,

et, par suite,

(f f(x,y)d<.,</f ^do+ff -^clco;

la première intégrale du second membre reste fixe ; quant h la deuxième, elle a pour valeur :

r r -SI ^ly-' . .. Mr^-«

et on voit que, si a est inférieur à 2, elle tend vers une limite finie quand v" tend vers zéro.

L'intégrale du premier membre M f (x, y) d(o, qui reste

toujours inférieure h cette limite et va sans cesse en augmentant quand r' diminue, a donc aussi une limite.

Le résultat n'est pas changé, si Ton remplace la circonférence C par une courbe C! de forme quelconque entourant le point O et venant s'évanouir en ce point; on le voit facilement (mi traçant, autour de O pris comme centre, deux circonférences (!," et Cl comprenant entre elles la courbe (7 et venant s'évanouir en O en même temps que celle-ci.

Supposons maintenant que la fonction f ait un signe quel- POixcARÉ. Potent. Newt. ni

r>6 THÉORIE DU POTESTIEL y'EWTOyiES

conque; les conclusions précédentes s'y appliquent encore.

Posons, en effet,

en convenant que Ton a :

i; = f et i;=o,

en tous les points où f est > 0, et :

i; = et i; = — f

en tous les points où f est < 0.

On peut appliquer à i'^ et 1', le raisonnement précédent ; les deux intégrales :

sont toutes deux convergentes ; leur différence,

J=:J(' .f(x.y}dw,

Test donc aussi et la proposition énoncée plus haut se trouve enlirrement démontrée.

On peut aller un peu plus loin : | | Jf (x, y) ] d«o est convcr-

f^nte, car elle est égale à Jj + J,. Pour cette raison, Tintégrale J est diic a hsolif mm f convcri^enlc. Remarquons enfin que les limites de ces quatre intégrales sont indépendantes de la suite des lormes que prend le contour ('/ lorsqu'il vient s'évanouir au point 0.

Tous ces résultats s'appliquent au potentiel d'une surface attirante, (juand le point attiré est intérieur aux masses agissaules. Ce j)olentiel a pour expression :

La lonction f^x, y) du raisonnement précédent est ici— ; elle

satisfait donc aux conditions suffisantes de convergence indiquées dans l'énoncé et l'intégrale V a un sens bien défini en tout point de la surface attirante.

lyTÉGRALES TRIPLES

30. Intégrales triples. — On définit la convergence, dans le cas des intégrales triples, comme dans celui des intégrales doubles. Soit S une surface fermée limitant un volume V; soit F (x, y,z) une fonction devenant infinie en un point du volume V, mais restant continue en tous les autres points ; pour donner un sens à l'intégrale triple

on entoure le point O d'une surface fermée S' et Ton considère rinlégrale

i'=fff¥[yi,y,y:,d-.,

étendue au volume V compris entre les deux surfaces S et S'. Si J' a une limite quand S' vient s'évanouir au point O, on dit que cette intégrale est convergente et cette limite est prise pour définition de J. Dans le cas contraire, J' est dite divergente et rintégralc J n'a aucun sens.

On peut affirmer la convergence de J', lorsque Ton peut trouver deux nombres positifs, Tun M, fixe, et l'autre a< W, tels que Ton ait en tout point du volume V :

r désignant la distance du point O à un point quelconque x, y, z du volume. L'intégrale J' est en outre absolument convergente, car l'intégrale

converge aussi; la limite de J' est alors indépendante de la succession des formes que prend la surface S' et la valeur de J est bien déterminée. Un exemple de ce cas de convergence est fourni par le potentiel newtonien d'un volume attirant, quand le point attiré est à l'intérieur des masses agissantes. Ce potentiel est, en effet, représenté par l'intégrale triple

'ch'

THKORIE DV POTESTIEI, yKiVTOyiEX

^ la ronctioii siius le signe J sutififiiisiint aux conditions >.'noncées : cela suppose loutefois que lu densité ^' reste finie.

Los composantes de ruttractiuii, elles-m^mes, sont données parties intégrales absolument convergentes. Soit, en effet. \j.„ une limite supérieure de lu densité; iiii a :

f l'une des composantes, par exemple celle qui csl paialU-lc à Ox. a pour expression :

et, par conséquei

X est doiio :,bs<.luni

s le mode de

Soil n l'ordre de riiilépeul plus se servir de ht

31. Intégrales d'ordre quelconque, grale ; quand n est supcrienr it il, oi représentation géométrique, le même.

Soit F(x,, x,,...,x,l, une toiicllon de n variables et eoasidt l'intégrale d'ordre n :

étendue par

J = fFdx,dx,dv, dx,.

luple il un ehuiup défini par l'inégalité

Supposons que F devienne iiiiînie pour un point O du cbamp. dont nous pourrons supposer les n coordonnées égales ii /ém Bans restreindre la généralité.

lyTÉGUALES D'ORDRE QUELCOSQUE O9

Appelons J' l'Intégrale | Fdx, dx, dx^ étendue au champ défini par les inégalités :

L'intégrale J' a un sens si nous supposons la fonction F continue en tout point du champ primitif autre que le point O. Si, quand p tend vers zéro, J'a une limite, cette limite définit J; sinon, J n'a aucun sens; dans le premier cas, il y a convergence et, dans le second, divergence. On peut affirmer la convergence dans le cas où Ton a en tout point du champ primitif :

< , avec a < n ,

M désignant un nombre positif fixe.

32. Intégrales absolument conyergentes et intégrales semi-con- ▼ergentes. — Exemples. — Revenons aux intégrales de ligne, de surface et de volume.

Soit

J =jFdt,

une intégrale simple, double ou triple suivant que dt désigne un élément de ligne, de surface ou de volume. Supposons que la fonction F devienne infinie ou discontinue en un point du champ d'intégration et qu'on ait démontré la convergence de rintégrale J. On dit que cette intégrale est absolument conver^ i^enlCy si l'intégrale

étendue au même champ, est elle-même convergente ; dans le cas contraire, l'intégrale J est dite semi-cofwer^en te . Nous avons donné (29 et 30) des exemples d'intégi'ales absolument convergentes. Voici maintenant des exemples d'intégrales semi-convergentes.

PuEMiER EXEMPLE. — Soit l'intégrale :

/** sin ax ,

Jq X

THEORIE DU POTESTIEL yEWTOSIES

Klle est convergente, car :

sin ax

elle est semi-convergente, car :

,. i^ I sîn ax I linii^. I -^ ^ ^dx = x

Dei'xikme exemple. — Soit un cercle attirant limité par une circonférence C ; supposons la densité constante et égale à 1: proposons-nous de calculer Fattraction au centre O (fig. 25).

ri^. a».

Prenons pour origine ce point et, pour axes de coordonnées, deux droites rectangulaires Ox', Ov'. L'une des composantes de Tattraction, X par exemple, a pour expression au centre :

X = / iL do/.

Cette inlcgrale est convergente.

Kn effet, entourons le centre d'un cercle ÇJ concentrique au premier et considérons Tintégrale :

étendue à la couronne comprise entre les deux circonférences.