ETUDE DES DERIVEES SECONDES

et enfin :

<4 7:(3p+ h) <[jL^167rp[i^

En somme, nous pouvons écrire Tinégalité :

<'f(p,h) + 167rp[Aç.

Cela posé, proposons-nous de rendre le premier membre inférieur à un nombre donné e, en prenant h suffisamment petit; il nous suffit, pour cela, de prendre p assez petit pour que

107rp[x^<-y;

puis, p étant fixé, de prendre h assez petit pour que

on aura, dès lors,

ov

ce qui démontre que la dérivée -:r— existe et qu'elle est égale à X.

Le potentiel V a donc des dérivées premières, en tout point intérieur aux masses, et ces dérivées sont égales aux composantes de l'attraction, ce qui fait qu'on les obtient en diflcrcntiant sous le

signe I .

36. Étude des dérivées secondes* — Si Ton différentie une fois de plus sous le signe i , les intégrales obtenues sont seulement semiconvergentes ; on rencontre ces mêmes intégrales dans la théorie du magnétisme où leur étude est nécessaire ; mais, dans la théorie du potentiel, on Tévite par un artifice.

Nous allons démontrer que, si la densité [x' a des dérivées de tous les ordres, le potentiel V en a aussi de tous les ordres.

Soit, en effet,

= / -^ dT'

K THÉORIE DD POTEXTIEL XEWTOSIBN

sv

II- I>(ttpnlie1; l'une des dérivées premières, '^par exemple, a poar f\ pression :

(tx .' r

im peut l'écrire :

i'.cc'i post', riippelons une forniulo que nousavonsdémontrée (19), il propos du lii ToriDule de Grccn ; reprenons toutes les notations di- ce paragraphe, nous aurons :

1)1 prcmii-re ititéfrnili* ot la troisième étant étendues au volume iittirunt T qufî nous considérons; la deuxième, ii la surface S qui limite ce volume. Servons-nous de cette formule pour transformer l'intégrale -r— : posons :

l", = [Ji',

V,=JL; la formuli^ (1 ^ nous donne alors :

,/.4)d..-j^^d.J'lM..

I )ii voit donc qne.si -r^-, existe, l'expression de — est égale à la lionime de deux potentiels : un potentiel de surface

i-t un potentiel de volume

"il?-.