ÉTUDE DES DÉRIVÉES SECONDES

or, le premier a des dérivées premières, en tout point non situé sur la surface; quant au second, il en a, de même (35), en tout

point intérieur ou extérieur; -j-- en a donc aussi, sauf sur la surface ; par conséquent, V a des dérivées secondes en tout point de l'espace, sauf, peut-être, sur la surface ; à leur tour, les potentiels du second membre de la formule (2) ont des dérivées secondes, si les dérivées secondes de jjl' existent et, par suite, V a des dérivées troisièmes; le raisonnement se poursuit ainsi de proche en proche et le théorème annoncé se trouve démontré.

37. Formons l'expression de chaque dérivée seconde et celle de leur somme; la formule (2) nous donne :

^=/.'j^du>'+/l:d-

dx ^/ r t/ r

On peut différentier sous le signe | dans le second membre ; on peut donc écrire :

on a pour -^-j et -r-j- des expressions analogues. Ajoutons-les membre à membre, nous aurons :

J \ dx' dx'

, Kt) .y , Ht) 0^'

"^ dy' dy' "•" Oz' dz'

TUÊORIE DC FOTESTIEL NEWTOKIEK

que l'on petite

V •' ^i^ ~J 2j -17- iSr •'"■

38- Fonnule de Poisaon. — Autour du point M (6g. 32), traçons une sphère ï, ayant M ptnir centre et un rayon ég;il à f ; elle par-

tage le volume T en deux autres T, et T„ T„ étant celui qui est intérieur ù lu sphère; appelons V„ et V, les valeurs de leuri potentiels respectifs au point M.

Ou a :

el

la première intégrale étant étendue ii la surface de lu sphère et la seconde :i son volume.

FORMULE DE POISSOS

Comme dous supposons que les dérivées premières de |jl existent, Texpression :

où tx désigne la densité au point M, doit rester finie; jjl lui-même et ses dérivées premières étant supposés finis, on peut assigner à toutes ces fonctions une limite supérieure commune \x\, de sorte que Ton a les inégalités :

ÎX'

djji'

dx

à l'intérieur de la sphère.

Remarquons enfin que Ton peut écrire :

et que Ton a sur la sphère :

du

AV devient alors :

Ox' ^\!

etc.,

La première intégrale a pour valeur :

rji. dto' = ^ 4- Ai^'>' = — 4 TT.jL.

La deuxième tend vers zéro, en môme temps <juc p, car on a

P"'-i" do/