II
THEORIE bV POTESriEL SEWTOMES
Posons :
^ ros cp \ 1* ' r /
On a :
Kz'
<vi:d
car :
Knfin remarquons que
< 1 ; nous pouvons écrire
vKI) <-^'
Prenons alors Tintégrale X — X'; nous avons appelé F la fonction sous le signe 1 «
Posons :
r intégrale devient :
C' — X = I -- dx' dj ' ;
or, en vertu de Tinégalité (l),on voit que la fonction 4> est limitée, car :
I * I <yK1).
Donc rintégrale X' — X est absolument convergente et représente une fonction continue . 42 .
50. Cela établi, étudions X et démontrons que X' est continue; nous aurons ainsi démontré que X Test aussi. L'étude de X est par là ramenée à celle de X'; nous avons ainsi substitué^ à Tétude de la composante pour une surface quelconque, Fétude
de la composante pour une surface plane ii densité variable — • .
* * * cosç
Ramenons ce cas lui-même au cas où la densité est constante.
iiS
L'intégrale X' peut s'écrire :
Appelons Jj la première intégrale et J, la seconde :
— 7- dxdy, si Ton pose :
r'* \ cos ç V r' r' \ cos :p ^ ^
On voit, sans peine, que la fonction 4> est limitée, car :
2** On peut trouver un nombre K tel que :
COSf
cela résulte de ce que le numérateur du premier membre w
pour partie principale, quand x' et y' sont infiniment petits, u»
terme de la forme :
ax'4-by',
et cela même tient à la remarque déjà faite (40 ) que le terme
tout connu du développement de — - — ♦ suivant les puissances
* * cos 9 '^
croissantes de x' et y', est le nombre [i. lui-même.
La fonction ^ est donc finie et, par conséquent, l'intégrale J, est une fonction continue.
Le problème est ainsi ramené à Tétude de J„ c'est-k-dire au cas d'une surface plane de densité constante {jl.
Cette surface plane est ici S'^ ; nous savons qu'on peut s'arranger de manière que S'^ soit un cercle, ayant pour centre M^,. L'énoncé de la proposition h démontrer est donc réduit au suivant.
ii6
THÉOniK DO PÛTEKTIEI. XSWTOKtE/t
Suit [fig. 36) une aire plnne atllr.tnlc, de densîlé constante {il, 1 limitée par ane circonférence C, dont le centre est M„. Soitiml point M, voisin du plnn du cercle et tendant vers le point M, aurl hi droite MM„; on considère l'allr.iction en M et lu coraposantoJ de cette attraction parallèle ^1 une droite fixe x'x du plan dir cerc :1e lorsque le point M tew vers M^ et traverse le plan, cciS composiinte reste continue.
Pour démontrer cette propj silion, désignons par M' la pro^ jection de M sur le plan daj cercle et, du point M' c centre, décrivons une c fcrence C tangente, iiitéri»
lenient ii la précédente.
Désignons par S, S', S" la
aires comprises respect ïvemeiH^
?nlre C et C;
diinU-s de l'attrfictin
il rinlérieu:
r de
l'intéiicur de C.
Ions A, A', en M. On a
composantes correspi
m»;», par Pi
,ison
de
nictiie :
Or, c[uand M tend vers M„, M' tend aussi vers M„ et l'ai tend vers zéro; donc A" tend vers zéro. Cette composante re»fl donc continue quand M traverse le plan en M, ; îl en est altri de même de J,. L'intégrale X', qui esl la somme de deux fom lions continues, reste aussi continue, et enfin X Jouit de la méin propriété.
Il est donc établi en général que : Les composâmes tait} tielles (le VaUraction veslenl lo/iliniies ijunnd on traverse lasui^ /■»e.
Remahqii
- Phli
s dans le eus c
•al.
Quaud M tend vers M„, / tendant vers zéro, X a une limile indépciidiinte du cùtc de lii surfiice où se trouve le puîiU M.
Appelons S^ celle limite. D'nutrc pnrt. prenons la valeur de rÎDtégrnle au point M„, c'est-!i-dire en y faisunt brusquemi-nt z =^ 0, Ou sait 28) que l'on obtient ainsi une intégrale convergente et qu'on la calcule, en entourant le point M, d'une courbe C que l'un Tait ensuite évanouir. La limite ainsi obtenue est-elle égide à S„? Celte question n'a pas de sens précis, car l'intégrale convergente qui fournît la valeur de X ou point M^ est semi-converffente. Sa limite dépend donc de la succession ^es formes que prend la courbe C en venant s'évanouir au ' »int M,.
['Cependant, parmi ces valeurs, on peut en distinguer une que ) appelle faleiir pn'nn'/jale et que l'on obtient en faisant cva- Nlîr la courbe C, de manière qu'elle se projette toujours sur Bplan des xy, suivant une circonférence ayant M,, pour centre, signons par X„ cette valeur principale, on peut démontrer que
Je me contente d'indrijucr le
51. Prenons des axes rectangulaires quelconques midement les résultats de toufe cette étude. Supposons que le ^nt M vienne traverser la surface, au point M„, oii la densité
t ^L ; soient a, ^, -[ les cosinus directeurs de la normale en ce (tînt M,. Au lieu des composantes de l'attraction, considérons, S qui revient au même, les dérivées premières du potentiel.
La dérivée suivant la iiormab
fait un saut brusquede 4~j
tlx iiy
Wlivement ii 'la^fi, 4^[*, ifi^^ et les valeurs principales sur
I surface, en M„ des intégrales qui représentent ces dérivées
Bt égales respectivement il lu moyenne arithmétique des valeurs
[enues en faisant tendre M vers la surface au-dessus et au- des-
ii8 THÉORIE DU POTEyTIEL NEWTOMEy
52. Remarque sur les dérivées du potentiel d'un volume attirant. — Soit T un volume attirant, S la surlacc qui le limite; son potentiel est :
OV l/unc tle SCS dérivées, -r — » par exemple, est donnée par :
'^ ' *^x c't) ^^x' r * Jjsj r
C^est la somme de deux potentiels, l'un de volume, Tautre de surface (36'. l-es dérivées premières de V sont donc continues quand on l'ranchit la surface S.
