V, peut s'écrire

* J cos» r

Cette intégrale est étendue à la portion A'B' de l'axe des x, laquelle est la projection, sur cet axe, du tronçon de courbe L, = AB.

Comparons cette intégrale à la suivante :

J cos » r

et à l'intégrale :

1^4 THÉORIE DU POTE?iTIEL SEWTOSIEN

Ces trois intégrales, étendues au même champ A'B', représentent, toutes trois, les potentiels en M de la même portion de ligne droite A'B'. Mais, dans V,, la densité est variable et d'une expression assez compliquée :

cos ç r

dans \' la densité est plus simple, mais variable encore : — ^- — ;

enfin, dans \Y', la densité est constante, elle a pour valeur celle de la densité «jl qui existe, en M„, dans la distribution primitive. Nous allons ramener Tétude de V, à celle de V/, puis à celle de \Y'. A cet effet, écrivons V^ de la manière suivante :

* J cos'f \ r v' ) J \ cosç V r' J ' r'

ou, en appelant J, la première intégrale, J, la seconde, J, la troisième :

Etudions successivement ces trois intégrales. Commençons

par J,. Montrons que la quantité sous le signe j reste finie :

ui' ... , ,11 — reste intérieur en module à v; quanta r, on peut

cos C5 4 X J. J./ *

récrire :

Or

r r' rr'

Ir'— rl<v//-+z'%

et

donc

Reportons-nous maintenant aux limites supérieures indiquées au paragraphe 56 ; on voit que

yffZÇ^