COS O

veloppable, suivant les puissances croissantes de x' ; il n'y a pas de terme tout connu, le développement commence par un terme du premier degré et le rapport suivant :

cos 9

reste fini ; soit a une limite supérieure de ce rapport, on peut écrire :

cos 'f

et, par suite,

cos 9

Or :

C<aC

A < aAC .

La fonction sous le signe | , dans J^, reste donc limitée.

i!tG THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOSJES

Nous venons de démontrer que, dans J^ et J,, les fonctions sous le signe i sont limitées; montrons qu'on peut en conclure la continuité (le ces deux intégrales, considérées comme fonctions de p. Faisons la démonstration pour J,. Appelons J^** la v.ileur de l'intégrale Jj au point M© :

J cos ? \ r^ v\ J Je dis que :

(1) LIm J, =JÎ,

Posons, en effet,

MoA' = a , M,B' = b ;

les limites des intégrales J^ et JJ sont — a et b :

,,=f £L(±4)ax « ,;=/*i.(J.4.W.

J.. a COS 'f \ r r' / J , cos « \ r^, r\ J

11 nous suHIt évidemment de démontrer la relation (1) pour les limites o et b, la même démonstration s'appllquant aux limites — a et b.

Démontrons donc que :

H,„. . . f jL (-L- A.) <!.• = r-^ ( J— 4-) .

' Jy cos 'f \ r r / .'o cos ^ \ r^^ r ^ /

Soit r,, un nombre compris entre et b; on a évidemment :

Posons

p \x' dx' , r^' [x' A\'

/o cos Ci r J^ cos ^ r

r^ a' dx' , /*'' a' dx' u = / — ^ , u'= / — ^ ^ .

X cos 'J r J^ cos :5 r

Enfin, appelons Vq, v,/, u^, u/ les mêmes intégrales où Ton remplace r et r' par r^ et r^'. Alors, M désignant une limite supérieure de

DS '^ \ r Y J

cos on a :

|v — v'I<Mr.,

I \ — v'„ I < Mr. .

D'ailleurs, dans les potentiels u, u', Uo, Uq', le point M^ n'est pas un des points attirants, puisque ces intégrales ont pour limites y[ et b.

Ces potentiels sont donc continus, au voisinage de M^,. Ecrivons alors :

J, co8^ \ r r' / J„ cos'j \ r, ri /

et soit e un nombre positif donné aussi petit qu'on le voudra ; nous pouvons choisir vj de telle manière que :

alors on aura :

r^ étant ainsi fixé, prenons p assez petit pour que :

lu — uj<-^,

le premier membre de l'égalité (2) est ainsi rendu plus petit que e. Il tend donc vers zéro, quand p tend vers zéro, et la proposition annoncée :

Lîm J, = J,^

est démontrée.

J, est donc une fonction continue ; la môme remarque s'applique à J,.

Avant d'étudier J,, faisons une autre remarque : J, n'est autre que V, — Vî; démontrer que J,, c'est-h-dire Vj — V,', est continu, c'est ramener l'étude de la continuité de Vj à celle de V/ ; de même, J, est égal à V( — VJ'; le problème est ainsi ramené à Tétude de ¥(', qui n'est autre que l'intégrale J,.

UB rilÉUHIE UV l'OTEXTIEI. .VA'»