I.aplace
Tout ceci ne s'applique, comme pour les volumes, (pi'aux points extérieurs aux masses agissantes.
3® Potentiel logarithmique. — Il possède dans le plan — toujours en dehors des masses agissantes — pour les aires et les lignes attirantes les propriétés que nous venons de reconnaîtra au potentiel newlonien dans Tespace.
7. Propriétés à rinâni. — Soit p la distance à l'origine du point attiré M; quand M s'éloigne indéfiniment, c'est-à-dire quand p
Kig. i.
croit indéfiniment, le potentiel uewtonien V en M tend vers 0. C'est ce que nous allons 'Y prouver en montrant que le produit oV tend
vers une limite finie et en calculant cette limite.
PROPRIETES À L'INFIJSJ ii
Soit (fig. 3) T un volume uttirant, dT'un élément de ce volume, P son centre de gravité, 'a la distance de P à l'origine des coordonnées, M le point attiré, r la distance PM et p la distance OM. On a:
et, par suite, on peut poser :
r = pH-Oa,
h étant compris entre — 1 et +1.
Le potentiel V a pour expression :
Formons le produit pV :
J p + Oa J » J p+Oa
les intégrales étant étendues au volume T.
De Tégalité (4), on tire :
On voit sans peine que le second membre de cette dernière égalité tend vers quand p augmente indéHniment. On a donc :
LimfpV— /Vd-')= 0, ou
en appelant M la masse attirante totale.
Le raisonnement s*étend sans aucune modification au cas d'une surface attirante, d'une ligne attirante ou d'un ensemble de volumes, de surfaces et de lignes.
8. — Passons au cas du potentiel logarithmique dans le plan. Soit S une surface plane attirante. Le potentiel V en un point M
THEORIE Di' rOTESTlEL yEUTOMEX
de son plan (fig. -4) a pour expression, en reprenant les notation! connues :
Fig. 5
Voyons comment V se comporte à rinfini. Posons :
M désignant la niasse attirante totale et p la distance du point Ma l'origine. Formons la diflerence V — V„ :
V— Vo=J;a'log-ild(o' ::
Or on a :
- 1 [JL lOg-^ Cit.) .
log-^
Oii
log(l
a désignant une limite supérieure de a; on en conclut :
[x<, étant une limite supérieure de jjl'. Si Ton désigne par S Taire de la surface attirante^ on a :
S = I dw',
POTENTIEL NEWTOMEN DISE SURFACE SPHÉRIQUE UOMOGÈKE li
et l'on voit que :
par conséquent :
Lim I V - VJ = 0,
quand a augmente indéfiniment.
On peut donc écrire l'égalité asymptotique :
VwM. \oR^.
9. Potentiel no'^^onien d'une surface sphérique homogène. — Nous allons, u titre d'exemples, calculer le potentiel dans quelques cas simples.
Soit une surface attirante sphérique, homogène, de densité (jl'; soient O son centre, a son rayon (fig. 5) et M, un point extérieur.
pour lequel nous voulons avoir la valeur du potentiel. Soit P le centre de gravité d'un élément dw' de la sphère; menons le diamètre AB issu de M. Posons :
MP=r; OP=a; OM = p; angle MO P=0.
Le potentiel en M a pour valeur :
THEORIE DU POTESTIEL KEWTONIES
OU, en supposant Tunîté de masse telle que 1^'= 1,
v=C-^ài^\
rintégralc étant étendue à la surface de la sphère. C'est cette intégrale que nous nous proposons d'évaluer.
Décrivons, de A et B comme pôles, une infinité de petits cercles sur la surface de la sphère ; nous découpons ainsi la surface de la sphère en une infinité de zones infiniment étroites. Projetons la figure sur un plan passant par OM que nous prendrons
Fig. 6.
pour plan de la figure (fig. G). Soient CC et DD' les plans de base de Tune des zones; C"D'' est sa hauteur. L'aire dw' de cette zone est donnée par :
dw' = 2 7:a. CD" = 2 ira. a sin e de = 2 ira* sin 8 dO .
La densité de la matière attirante étant égale à l'unité, 2 ira* sin 8d 8 représente aussi la masse répandue sur la zone et le potentiel auquel elle donne lieu en M est :
2ita*sin6de
Le potentiel V de la surface sphérique est donc :
2 ira* sin H
dô.
POTENTIEL D'UNE SPHERE PLEINE i ">
(L'est une première modification de Tîntégriile (5). Transfornions-la encore ; on a :
r* = a* H- p'^ — 2 ap cos 8,
d'où :
rdr = ap sinOdd,
et
sinOdO dr
et en portant cette valeur dans l'expression (6) :
(/) V=/ dr = / dr= .
Or 47ra* est la valeur de la masse totale attirante M; on peut donc écrire :
comme si la masse entière était condensée au centre.
Si le point M, au lieu d'être extérieur à la sphère comme dans le cas précédent de la figure (6), était intérieur, les limites de l'intégrale (7) seraient a — p et a + p ; la valeur du potentiel serait alors :
2 ira /-+?, , 4 TOI» M V = •/ dr = 47ra= = — .
p Ja-? a a
Ainsi^ à l'intérieur de la sphère, le potentiel est constant el égal a — ; l'attraction est nulle.
10. Potentiel d'une sphère pleine. — Commençons par calculer le potentiel d'une couche sphérique homogène infiniment mince.
Soit (fig. 7) une sphère de rayon a recouverte d'une couche de matière attirante dont la densité, constante, est égale à \k' et dont l'épaisseur est uniforme, très petite et égale h e. Un élément P de la sphère, dont l'aire est dw', porte une quantité
THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOSJEN
de mallrre égale à vxAiù'. Son potentiel en un point M extérieur est :
ji-'cdw'
Le potentiel V de la couche est donc :
dco'
= I as .= sa / =
a'e. 4 ira*
le calcul est le nu^me que pour une surface attirante dont la den-
site serait sjjl'; ^Tra'ca' n'est autre que la masse totale M de la couche et Ton a :
La dérivée fournit la valeur de l'attraction : — ^,
Pareillement, le potentiel on un point intérieur est constant et égal a :
le potentiel étant constant à l'intérieur, l'attraction est nulle. On en conclut sans peine la valeur du potentiel d'une sphère pleine composée de couches concentriques homogènes. En un point extérieur, on a encore :
