Résumons tous ces résultats dans le tableau suivant

Dérivées secondes. Sauts brusques.

^ ,^ Kt)

ôzdx " Ox'

Remarque I. — On peut donner au saut brusque de ^ une

expression géométrique très simple, indépendante du choix des

ixes ; (l'i+tj) désigne, en effet, la somme -rr 1 — ^r- des inverses

des rayons de courbure principaux en M^ ; le saut brusque

de ^ , est donc Oz*

Remarque II. — Les expressions des discontinuités des déri-

r^-ïtïlA ■

•^*>2 THEORIE DV POTESTÎEL yEWTOMES

vres secondes se simplifient sî Ton prend pour axes des x et des y les tan«rentes aux lignes de courbure qui se croisent en M^. Dans ce cas, en effet, on a :

r, • I • s Il •

et, de plus :

comme le montrent les formules d'Olinde Rodrigue.

On voit alors cjue les sauts hiusques pour les six dérivées secondes :

ivu ivt: d-r cvu cvu 0-u

Ox* Ov^ Oz* OxOv i)vOz 4>zi)x deviennent respectivement égaux à :

Ov' ' dx'

113. Étude des dérivées premières d'un potentiel de double couche. — Soit S une double couche quelconque ; on sait que son potentiel V est holomorphe dans tout domaine qui ne contient aucun point de S. Mais si le point attiré M vient à franchir la surface en un point M^, la fonction V et ses dérivées éprouvent des discontinuités. Nous connaissons déjà celles de V, calculons celle des dérivées premières.

Nous supposons qu'en M^ la surface S admet un plan tangent bien déterminé et nous prenons ce plan comme plan des xy, le point My étant pris pour origine.

Les résultats du paragraphe précédent vont nous montrer immédiatement comment se comportent les dérivées premières de V au voisinage de M„.

On a, en effet, en reprenant les notations habituelles:

• -sr-'''"'''

ce cjue nous avons mîs (^99) sous la forme :

en posant :

'\xAm'

Uj, U^, Uj sont des potentiels de simples couches; V s'exprime avec des dérivées premières de ces potentiels et par conséquent les dérivées premières de V s'expriment avec des dérivées secondes de ces mômes potentiels.

(considérons, par exemple, -^r — : on a :

ux

Ox \ dx^ ùxOy ôxdz /

Or, quand on franchit S au point My, les trois dérivées

, d*LT, d*U, d*U, . ,

secondes : ^ . , ■ . , ^ , lont des sauts brusques respecli-

Ox* 0\^y OxOz * *

vement égaux à : 47wa'[jL'rj, ^t^^'^'s^^ — 47:^r^,c'est-ii-direé<riuix

du' .

à : 0, 0, — 471.-^77- puisque tI et ^' sont nuls au point M^.

11 en résulte que -^r — fait un saut brusque égal à 4- — '—y .

On démontrerait de même que -r— fait un saut l>rus(iuc éiral

« 4" -tV • oy

Voyons maintenant ce qui se passe pour — r— ; on a : ôV / Ô^U, . O^U, 1VU3

dV / Ô^U, Oz \ Oxùz

Oz \ Oxùz Ovùz i^z"^

Le saut brusque de -r— r-^ est égal à — 4;: , \ .c'est-ii-dirc

j^/ ^ dxdz ^ ùx' '

à — 4- ;jl' -^—j- , car a' =0 et y- = 1 au point M^.

TUÈORIB Oa POrexTlEt KSWTOXIBX

- esl de mfme égal î

Or on a en générul :

VH-p',-f-<l', Vl-hp', + .i=,

rdx' «Y~V'r+p"',+q',

'■•■■^(vT^

'V VviH-p'.+ q', J

f An j)i)iiit AI^. [), el q, élunt nuls, celle fiirmiile se rèdnlt ii :

1-c Siiiit lirnsqne de -r— sl' réduit donc h zéro ; — r— reste eoii-

tiiiiie.

Kii réïiiinié, on {leut éri<iiicer ht proposition snîvitnte :

QuntuI on finntliit une doiilile conclu-, la dérU-ée prise siiwfinl lu

des siirils lirnxijnes rexpeclivement

e^au.r >i 4î: —S- el 4- — 4-

114. — On ]ieut ol)U'nirccs résultiits d'une autre niiinière sans les déduire de l'étude des dérivées secondes il'iin piitentiel de simple couolic dons le cas général.

Voici une mélhodc qui suppose seulenicnl que l'on sache comment se comportent ces dérivées secondes dans le cas où la densité est nulle au point où l'on traverse la surl'ace.

DOl'BLES COl'CUES i'o

Nous procéderons de la manière suivante :

l'Dans un premier cas nous supposerons que la surface qui porte la double couche est fermée et que la densité est constante.

2" Nous traiterons ensuite le cas d'une surface fermée en supp(»sant la densité variable d'un point à Tautre, mais nulle au point M,,.

H* Nous traiterons après cela le cas d*une surface fermée quelconque sans faire d'hypothèse sur la densité en My.

4*^ Nous traiterons enfin le cas d'une surface quelconque non fermée.

Premier cas. — Surface fermée et densité constante. — On a vu '101 que dans ce cas le potentiel est constant à l'intérieur et constant ii l'extérieur ; les dérivées sont alors nulles partout et n'éprouvent donc pas de discontinuité quand on franchit la surface.

Deuxième cas. — Surface fermée et densité i'ariahle mais nulle fifi point ^{^.

I-e potentiel V s'exprime en fonction des potentiels de simples couches: U,, U^U,, par la formule

d\ dz

Or les densités correspondantes a'j/, Jj'jjl', y'tjL s'annulent en M„ puisqu'en ce point [x' est nulle. Nous savons alors comment se comportent les dérivées secondes des fonctions U,, U^, V\ (voir ï*" 110') et nous pouvons en déduire les sauts brusques des dérivées premières de V.

Considérons par exemple -:r — :

dx

: \ ôx^ OvOx ùzOx /

• ; ; ■ reste continue ainsi que -^^ — r-'- ; quant a , . elle lait un Ox* OyOx * ozOx

saut brusque égal a — 4?: —•—. Le saut brusque de —r— est donc

■rîî

l'ih THÉORIE DV POTESTJEL yEWTOSlES

éiTiiî il \t. ' . On voit de même ciue — r — lait un saut brusque

«'^al a ^t:— r

(lonsidérons maintenant — r — ; on a :

\ i>xi>z 4>vOz Oz' /

— — -^ lait un saut brustiue etnu a — .^7:___.( — l .• on voit laci- 0\iV. ' ^ dx \ Y I

lenieiit ciu'il est nul ; en effet on a :

et les <iuantités a' el ;jl' sont nulles en M^. De même, le saut

])riis(uie de , , — est égal à zéro. Knfin ^ .^ reste continue. ' i>vOz ^ Oz*

— — est donc conlinue.

TuoisiKME CAS. — Surface fermée et densité (juelconfjtie. — Appelons toujours V le potentiel ; on a, en employant les notations définies au début de ce chapitre :

Appelons ;jLy la densité au point M^. On peut écrire :

V = J(:^' — :V ^1-' +J;^,dT'.

La deuxième inté<^rale est un potentiel de double couche dont la densité est constante. Ses dérivées premières sont continues l^*^ cas .

La première intégrale est un potentiel de double couche dont la densité variable est nulle an point M^ 2^ cas). Les dérivées piemières de V se comportant comme celles de ce potentiel, on a donc encore :

l'our-r — Je saut brusciue -it: -^r^

Ox ox

DOUBLES COUCHES riS;

Tour -r — le saut brusciuc 47:--^

dy Oy

Pour4^ — 0.

Quatrième cas. — Surface non fermée f/ttelconfjtte. — Soit S' une pareille surface limitée par un contour C.

La surl'ace ayant deux côtés, on peut faire passer par C une deuxième surface S'' de manière que Tensemble S' S'' forme une surface fermée S. Quelle que soit la distribution de matière qu'on envisage sur S", son potentiel V est une fonction holomorphe au voisinage de M^ qui n'est pas situé sur S'' mais sur S'. Si donc on franchit S' en M,,, les discontinuités des dérivées de S' sont les mêmes que celles des dérivées correspondantes de S. Nous sommes ainsi ramenés au cas précédent d'une surface fermée quelconque.

On voit donc que dans tous les cas : -:— reste continue et que

les dérivées tangentielles éprouvent des discontinuités égales

, , djx' ÙV . , dix' iW

a 4 t: -r~ pour -:r — et a 4 -n -—r powi* -— — . ox * Ox oy' * Oy

Le théorème énoncé à la fin du paragraphe 113 est donc démontré.

115. Comparaison des simples et des doubles couches. — Considérons deux potentiels Tun V de simple couche, l'autre V de double couche, relatifs à une même surface S :

V==fJ!Î^

' an

Comparons-les :

1** Ces deux potentiels sont des fonctions harmoniques dans tout domaine qui ne contient aucun point de la surface S.

2"* Désignons par 1 et 2 les deux cotés de la surface et soit M^ un point de cette surface.

Lorsque le point attiré M tend vers M^ en suivant une certaine

POixcARÉ. Potcnt. Newt. i-

•i38 rUÉOniE DU POTESTIEL yEWTOyiEy

droite L passant par M,, et en restant du coté 1 de la surface, les fonctions :

ÔV OV dV

et les fonctions

dx dv Oz

^,, dv^ ^ jvr

' dx dv Oz

tendent vers des limites ; nous représenterons ces limites par les notations :

4>x Ov Oz

et

„ dV. OV, dV.

Oz

* Ox Oy

Ces limites sont indépendantes de la droite L que suit le point M.

De même, si M tend vers M^ du côté 2 de la surface, les huit fonctions considérées tendent uniformément vers certaines limites (jue nous désignerons par :

V ^,i!L.,iL.

"^ dx Ov Oz

^' ôx Ov Oz

Dans les deux cas, ces limites, étant atteintes uniformément, varient continucment quand M,, se déplace sur la surface.

A ce point de vue, les deux potentiels se comportent de la mi^me façon ; mais des différences s'introduisent quand on comj>arc les limites relatives au coté 1 avec les limites relatives au côté 2.

Considérons la normale en M,, à S et prenons comme sens positif sur cette normale celui qui va du côté 1 au côté 2 ;

appelons -r— et — r— les dérivées de V et V prises au point M * * du dn

parallèlement à cette direction. Quand M tend vers M^ du

côlé 1, -; — tend vers une limite que nous appellerons-i — et quand dn dn, *

DOUBLES COi'CIlES i^

M tend vers M„ du côte 2, —. — tend vers une limite ~. — . Ou a

an du^

dV , ,. . dV dV de même pour -rj — des limites -^ — et —. — .

du (\u^ du,

Clela posé, dans le cas de la simple couche, on a les circonstances suivantes :

1" V reste continu V^ r= V^j

est discontinu .... -; ; — = — 47:0.

dn dn^, dn^

(jjL désigne ici la densité au point My).

,'J** Les dérivées tangentielles sont continues.

Le cas de la double couche présente les circonstances inverses :

10 V est discontinu V^V^ = 4-.^

o. dV . dV dV'

1^ — ; — est continu

dn ' du.. dn,

4** Les dérivées tangentielles sont discontinues.

Dans la formule V'.^ — V, = 4?: ;jl, nous supposons que le côté positif de la surface coïncide avec le côté 2, c'est-à-diro quo, dans l'expression de V, les cosinus directeurs a', |ï',y' sont ciiix de la direction positive de la normale à S telle que nous l'avons définie (celle qui va du côté 1 au côté 2^ .