RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET LA MÉTHODE DU BALAYAGE
116. Enoncé du problème de Dirichlet. — Soit un domaine T limité par une surlace fermée S. Le volume considéré est supposé connexe, mais son ordre de connexion peut être quelconque. Enfin appelons 4> une fonction continue définie en tout point de S : cette fonction, d'ailleurs arbitraire, est regardée comme donnée.
Cela posé, nous nous proposons de construire une fonction V jouissant des propriétés suivantes :
1° V est^harmonique dans tout domaine T' contenu à Tîntérleur de T.
2^ La valeur Vm de V en un point quelconque M (x, y, z) de T tend vers la valeur ïI>jvi„ de 4> en un point M^, (Xy, y^, Zy) de S, quand le point M tend vers le point My en suivant un chemin quelconque assujetti seulement à ne pas sortir du domaine T.
C'est en cela que consiste le problème de Dirichlet,
Nous venons d'énoncer le problème de Dirichlet inférieur. On peut aussi se poser un problème semblable pour le cas où le domaine T est formé de la portion de Tespace située à Textérieur de S. C'est ce que Ton appelle le problème de Dirichlet extérieur. Lorsque Ton étudie ce nouveau problème, on impose=à la fonction cherchée V une nouvelle condition : celle d'étn régulière à Ulnfini, c'est-à-dire de s'y comporter comme un potentiel newtonien.
Nous avons déjà vu [^ 64) (jue le problème de Dirichlet n^ peut pas admettre plus d'une solution. Nous allons montrer qu'iE^
RESOLUTlOy DV PROBLEME DE DIRICULET
en possède toujours efTectivenierit une. Cette proposition porte le nom de Principe de Diricfilel.
Il est clair que toutes les considérations précédentes pourraient être répétées sans modification pour le cas du plan. Seulement, on n'a plus besoin alors, en ce qui concerne le problème extérieur, de dire d'avance comment la fonction cherchée doit se comporter à Tinfini.
La méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques indiquée par Thomson et exposée au chapitre V permet de ramener le problème extérieur au problème intérieur. Nous ne nous occuperons donc ici que du problème intérieur.
Commençons par établir quelques propositions qui nous seront utiles.
117. Comparaison des fonctions harmoniques et des potentiels. — Envisageons (fig. 79) une surface fermée S délimitant un domaine intérieur Tj et un domaine extérieur T^. Nous supposerons que la surface S possède en chacun de ses points un plan tangent unique et deux rayons de courbure principaux bien déterminés.
Soit maintenant une fonction V présentant les caractères suivants :
1^ La fonction V est harmonique il l'intérieur et à l'extérieur de S, c'est-à-dire dans tout domaine contenu dans Tj comme dans tout domaine contenu dans T,.
2® La fonction V est régulière à l'infini et s'y comporte comme un potentiel newtonien.
3" Soit Mj un point situé à l'intérieur de T,. Considérons un point M de S. Si M, tend vers M en suivant un chemin quelconque assujetti seulement à rester à l'intévieur de Tp les expressions :
Fig. 79-
lïf
THÉORIE DV rOTBSTIKt 1 is les limites Je le nui nées :
qui sont des lonctioiis continues sur lu suHace S.
fi" Soil M, un point situé a l'inlérieur de Tj. Coiisidéron; toujours le point M de S. Si M^ tend vers M en suivant un elie
min iiueU'ou(|ui ■xpi(
iijetti seulement i
dV
V et-r-
dn
i liniites déterminées :
dv-
\ et -f-î-
