II

%^n tout point de T qui n'est ni en P ni sur S. Donc, en tout ()oint situé dans le domaine T, le potentiel dû a la simple couche considérée est plus petit que le potentiel dû à P.

On sait que — . — est négatif en tout point de S : cela résulte

de ce que G est nul sur S et positif à l'intérieur de S. On a

donc :

1 dG ^

4?: dn

Ainsi les masses qui constituent la simple couche dont le potentiel est V sont toutes positives.

Les mêmes propositions sont vraies si le point P, au lieu de porter l'unité de niasse, porte une masse égale à m. Si m est positif, la densité de la couche superficielle que l'on fabrique est encore positive en chaque point de S.

Les mêmes considérations peuvent encore être faites à propos de masses distribuées d'une façon quelconque dans T : points discrets, volumes, surfaces ou lignes.

La couche superficielle obtenue s'appelle couche c(]ui\utlente aux masses intérieures. L'opération qui consiste a remplacer des masses par la couche équivalente porte le nom de balayage du domaine T.

Va\ résumé, on voit que le balayage d'un domaine qui ne contient que des niasses positives ne change pas le potentiel en un point extérieur; il le diminue en un point intérieur; enfin cette opération n'introduit jamais de masses négatives.

J70 THEORIE DV POTESTIEL ^EWTOMEX

IIkmaim^u'e. — On a :

^jt: c's <in

Donc le l)alayîiire, dans le cas d'un point P unique portant Tunité de masse, ne chanjçe pas la masse totale considérée. Kn d'autres termes, la masse totale de la couche é(|uivalente est égale à la masse primitive.

Il en est évidemment de môme dans le cas d'une distrihnlion quelconque de masses.

122. — On peut définir de même une opération qui s'appellera le balayage de la région de l'espace extérieure à S.

Soit P un point attirant portant Tunité de masse située \\ l'extérieur de S. Appelons encore p la distance de P à un point M quelcon(jue de l'espace. Si (i désigne la fonction de Green relative au point P et au domaine extérieur à S, on a :

G=:— — Il

avec :

Ali — :() à l'extérieur de S

11=^ — sur S.

Imaginons encore une fonction V qui coïncide avec — ii Tintérieur de S et avec II à l'extérieur . On a cette fois :

1 r cK; d(o'

1 /• cui ixuy

cl l'on voit encore que \ est le potentiel d'une simple couche répandue sur S avec la densité :

1 dC.