DISCUSSION DE LA FONCTION

Quand le point x tournera autour du point a, \jx — a changera de signe; ainsi :

Quand la variable décrira un contour Jermé contenant une des quantités a, by . . , , l, la fonction rewiendî'a au point de départ avec un changement de signe

Quand la vraiable déciira un contour fermé contenant un nombre pair de points critiques, un nombre pair de facteurs \Jx — a, \jx — 6, . . . changeront de signes, et lafonction reviendra au point de départ avec sa valeur initiale; ce sera V inverse quand le contour contiendra un nombre impair de points critiques.

Au lieu.de décrire un contour formé d'un contour simple, la variable peut tourner plusieurs fois autour d'un ou de plusieurs points critiques; mais ce cas complexe ne présentera aucune difficulté et se ramènera aux précédents.

Je suppose, par exemple, un contour ayant son origine en o et présentant la forme ci-dessous : quand la

variable a suivi le chemin opls^ la fonction arrive

( 3. ) en s avec une valeur que j'appellerai y,^ et quand j: parcourt le clicmin sqrs^y revient en s avec la valeur — y,, en sorte que l'on pourrait supprimer la boucle sgrs et partir de o avec la valeur — joi on pourrait de môme supprimer la boucle uptu en partant avec la valeur initiale -t-jKoi ^' reste alors le chemin optsqruo qui contient le point a et l'on revient en o avec la valeur — ^ o-

ÉTUDES DES PREMIERES TRANSCEKDAWTES QUE l'on RENCONTRE DANS LE CALCUL INTÉGRAL.

Les fonctions entières s'intègrent immédiatement, les fonctions rationnelles s'intègrent en les décomposant en fractions simples : quand ces fractions simples sont de la

forme , r- •> elles s'intèarient immédiatement; quand

elles sont de la forme ■> elles ne s'iutègrienl plus au

moyen de signes algébriques, ou du moins on ne sait plus les intégrer de cette façon.

On rencontre aussi des fractions de la forme

Mj: + N

[x^ -\- px + qY"*

mais, en adoptant les imaginaires dans le calcul, ces

A fractions se réduisent à la forme •

L'intéerale de est la fonction logarithmique

bien étudiée dans les éléments et bien connue 5 on conçoit cependant que la découverte des logarithmes ait pu suivre celle du Calcul intégral, et il est intéressant de voir comment on aurait pu étudier les propriétés delà nouvelle fonction.

( 33 ) Et d'abord il y a lieu de se demander si l'intégrale de

engendre réellement une fonction transcendante,

ou seulement une fonction réductible aux fonctions algébriques; nous allons voir, en étudiant ses propriétés, qu'elle constitue une fonction nouvelle. D'abord, en mettant à part le facteur A constant et remplaçant x — a par a:, on ramène cette intégrale à la forme

Posons

= log*,

le signe log étant employé pour représenter la nouvelle fonction (nous précisons notre intégrale avecla limite i et non zéro, afin qu'elle reste finie).

Nous pouvons prouver : i° que logo: n'est pas monodrome et par suite ne peut pas être rationnel; 2° que logar a une infinité de valeurs pour une même valeur de or, et qu'il ne saurait alors coïncider avec une fonction algébrique qui n'en a qu'un nombre limité.

Pour le prouver, observons que l'on peut aller du point I au point a:, soit directement par le chemin \x

FIg. 7.

rectiligne, ce qui fournit la valeur que nous appellerons

logo*, soit par tout autre chemin. La valeur de l'inlé-