DES TRANSCENDANTES DE LEGENDRE ET DE JACOBI

■ En définitive, les intégrales de la forme

où F désigne une fonction rationnelle de x et d'un radical carré recouvrant un polynôme du quatrième de-

{ 47 ) gré, peuvent se calculer au moyen des fonctions algébriques, logarithmiques, circulaires, et au moyen de trois transcendantes nouvelles :

r^ <h: r x'dx ^

(i —ax']sl[\ — ^')(i — /-^j:')

La première est, comme on le verra, la plus importante : ce sont les trois intégrales elliptit^ues de première, de deuxième et de troisième espèce

Legendre pose j: = sinc5)5 les trois intégrales précédentes deviennent alors, en prenant poui imites inférieures zéro,

Jo v/i — ><'sin»y et

dff

[i — a sm^ç) \/i — ^'sin'ç

la première était pour Legendre l'intégrale de première

espèce, l'intégrale / \/i — A* sin*^ Jy ô'ait l'intégrale Jo

de deuxième espèce, la troisième était 1 i?'<r;gralede troisième espèce. L'intégrale de deuxième cupèce représente l'arc d'ellipse exprimé en fonction de l'anomalie excentrique de son extrémité.

(p est ce que Legendre appelait V amplitude des trois

(48 ) intégrales, k porle le nom de module, a est le para' mètre de l'intégrale de troisième espèce.

Legendre, dans son Traité des Jonctions elliptiques, étudie surtout les propriétés des trois intégrales que nous venons de signaler, et indique le moyen d'en construire des Tables. Mais Abel et Jacobi, se plaçant à un point de vue beaucoup plus élevé, ont considéré les intégrales elliptiques comme des fonctions inverses; pour bien faire saisir la pensée qui a guidé ces géomètres dans leurs recherches, nous ferons observer que les logarithmes et les fonctions circulaires inverses pourraient être définies par les formules

r^d.T . r^ dx

log.r = I — j arcsin^= I -, •••»

Ji ^ Jo V^i — ^'

et auraient certainement été étudiées avant l'exponentielle, le sinus, etc., si ces fonctions directes n'avaient pas été fournies par des considérations élémentaires. Le fil de l'induction devait laisser penser que l'intégrale

o v/(l — Jr')(i — /c'x^)

ne définissait pas une fonction aussi intéressante que son inverse.

ÉTUDE DE l'intégrale '

Jo v/(r

Avant d'étudier la fonction elliptique, il convient, pour la commodité de l'exposition, d'étudier l'intégrale un peu plus générale

( 49 ) X est une fonclion évidemment continue de y^ tant que j' n'est égui à aucune des quantités a, |3, y, ^, co , et réciproquement y sera une fonction continue de x\ et, lors même que / passe par la valeur a par exemple, X reste continu. En eflét, posant x =f['y), on a

^o \Jy — a

si y - « v'Ij- P) [y - 1) [y -^i

cette expression est finie comme l'on sait-, on a aussi

et, par suite,

= P^^ dy i

L iy- « sJ[y-^)îr^ïïy~-S) '

soient M une quantité dont le module reste supérieur à celui de . j s une quantité dont le

module est au plus égal à i , on aura

cette quantité est bien infiniment petite. Ainsi :

Théorème I. — La fonction x et, par suite, son inverseysont continues, excepté quand y ou x sont infinis .

Pour préciser le sens de la fonclion x, il faut supposer que, pourj)^= o, le radical ait une valeur déterminée, que nous représenterons par -t- \Ja.[l>yd^ et quand je dis que, pour)^ = o, le radical a celle valeur, j'entends parla que l'intégrale est engendrée avec la valeur -f- \jot.^y6

qui pourra prendre au point o la valeur — \Ja^yd quand L. Fond, dlipt. 4

( '>o ) la variable y reviendra en ce point. Cela posé,

Théorème II. — Lafoncliony admet deux périodes.

En effet, les contours que l'on peut suivre pour engendrer l'intégrale x peuvent se ramoner : i" au contour rectiligne oy ^ i° k ce contour précédé de contours fermés aboutissant en o et formés de lacets.

Soient A,B,C, D les valeurs que prend l'intégrale autour des lacets relatifs aux points (X, /3, y, 5.

Appelons i la valeur que prend l'intégrale x quand le chemin que suit la variable y est le contour rectiligne 07^; X pourra prendre les valeurs suivantes : 1° la valeur i ; 0° les valeurs A — i, B — i, C — /, D — * ( *) •

En effet, par exemple, la variable y parcourant d'abord le lacet A dans le sens direct ou dans le sens réiiograde, x prend la valeur A, le radical revient en o avec sa valeur primitive changée de signe, la variable décrivant ensuite le chemin oy, l'intégrale prend le long de ce chemin la valeur — /, et l'intégrale totale se réduit à A — /.

3° En général, quel que soit le sens dans leqliel on parcourt un lacet, la valeur de l'intégrale ne dépend que du signe du radical à l'entrée du lacet, et ce signe change h la sortie du lacet; il en résulte que, si la valeur initiale du radical est précédée du signe 4-, la valeur générale de x sera

(*) L'intégrale le long d'un lacet est facile à calculer; supposons qu'il s'agisse du lacet relatif au point a, elle se composera de l'intégrale jec. tiligne O «, de l'intégrale prise le long du chemin circulaire décrit autour de a, intégrale nulle, et de l'intégrale rectiligne aO, laquelle est égale à ij a parce qu'elle est parcourue en sens iuverse de 0 a et avec le signe — placé devant le radical. Ainsi A=2 (0«); le radical, en effet, change de signe quand le point jr tourne autour de a.

( 5i ) le signe de /' étant -+- s'il est précédé d'un nombre pair de termes, — s'il est précédé d'un nombre impair de termes ; de sorte que, si l'on pose

-f OT«(B — C) + Ws (B — D) + ^«(C— D),

mi,/r/2, . . . , THs étant des entiers positifs ou négatifs, les valeurs de x seront de la forme

que l'on peut simplifier. En effet, si l'on intègre

le long d'un cercle de rayon infini décrit de l'origine comme centre, on obtient un résultat nul, mais cette intégrale est aussi égale à la somme des intégrales prises successivement le long des quatre lacets; donc

A — B + C — D = o, si l'on pose

A — B = w, B — C = cT, on aura

B = A — «, C = A — w— CT, D = A — B + C = A — cj,

A — B = trr, A — C=:u-t-CT, A — D=:ct,

B — C = nT, B— D = ci--w, C — D=r — u.

F^a quantité P est dpnc de la forme mw -^-n cj, et les diverses valeurs de a: de la forme

mot -r- nu -h i ou /ww + «cr + A — /.

Les quantités metn désignantdes entiers quelconques,

( 50 il résulte de là que, si l'on faitjy =f(x), on aura

(4) y( w w 4- n CT 4- /) = /(///&) 4-/? CT-+- A — /)=/(/);

la fonction y admet donc les deux périodes w et C7.

Si nous partageons le plan en une infinité de parallélogrammes, dont les côtés soient w et cr, ces parallélogrammes porteront le nom de parallélogrammes des périodes, et nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Théorème IIE. — Dans chaque parallélogramm.e des périodes, la fonction y prend deux fois la même ^valeur pour deux valeurs distinctes de x.

On peut démontrer directement que la fonction^ est monodrome dans toute l'étendue du plan. En effet, si le pointj^ se meut dans une portion du plan qui ne contient pas des points critiques, x reste fonction monodrome de Y^ et l'équation

yju

fournit xine série de valeurs de x comprises dans un certain contour C. Réciproquement, la racine y de cette équation ne pourra cesser d'être monodrome qu'autour des points oùjf acquerrait des valeurs multiples ou autour desquels le premier membre de l'équation cesserait d'être monodrome ou fini par rapport ky] or, la dérivée du premier membre de notre équation relative à y ne s'annule que pour j = 00 ; les seuls points oùj^ pourrait cesser d'être monodrome correspondent donc à| ;' = a, (3,7, ^ etoo, Posons donc

dy dz dx '^ dx

( 53 ) la formule (A) deviendra

2 dz

La fonction z ne cesse évidemment pas d'être monodrome autour du point z=o, et, par suite, j" ne cesse pas d'être monodronie autour du point a (a, (3, y sont, bien entendu, supposés diflérents les uns des autres).

Si l'on veut étudier ce qui se passe autour du point X = I, pour lequel j" = co , on posera

on aura alors, au lieu de la formule (A),

«Zoo

V(.-az);i-pz)(i-72)(l-^z)

et, en raisonnant comme plus haut, on voit que cette écjuation, pour y =z<x> ou pour z = o, ne cesse pas d'être raonodrome par rapport à x.

Nous verrons plus loin une démonstration lumineuse de ces résultats, mais il était nécessaire de présenter ces considérations pour faire comprendre l'esprit qui nous guide dans nos recherches.

Notre but dans ce paragraphe était de montrer comment on pouvait être conduit à concevoir des fonctions possédant deux périodes.

ÉTUDE ET DISCUSSION DE LA FONCTION siu amX.

Considérons l'intégrale

Jo v/('-J')('-A-'-^')

qui est lu plus simple de celles auxquelles se ramènent

les intégrales que nous avons considérées plus haut. Legendre posait

X = sin y;

il obtenait alors la relation

(j) éiait ce (ju'il appelait l'amplitude de l'intégrale x. Alors, en posant ç)= amj:, on a

y = sinam^;

le nom de sinamj: est resté à j' considéré comme fonction de X. Nous adopterons la notation de Gudermann, plus simple que la précédente, due à Jacobi, et nous aurons

)- = sinam .r z= sn^,

y'i — j-= cosamx = cnx ,

y/ i~ A^f'=: dn.

■= u\ni'am.Tz= tnx.

« Nous reviendrons d'ailleurs sur ces formules pour en

préciser le sens et déterminer le signe qui convient à chaque radical. Dans ce qui va suivre, k sera quelconque, mais, dans la pratique, k sera généralement réel et moindre que l'unité.

D'après ce qu'on a vu au paragraphe précédent : 1** La fonction sn.r sera continue, monodrome et monogène dans toute l'étendue du plan.

2° Elle possédera deux périodes, l'une

correspondant aux deux lacets successifs et relatifs aux points critiques — i et -|- i . Nous l'appellerons 4^}

nous obâeivcroiis qu'elle est réelle quand h est réel, el d'ailleurs moindre que l'unité en valeur absolue,

^^Jo v/(i-j^;(i-^^)' l'autre période est

Jo ^ c/o ^

A désignant, pour abréger, le radical^ ou peut la représenter par sK'y — I, en posant

Si l'on fait

on trouve

Âr est ce que l'on appelle le module,

J^ est le Tiiodule complémentaire,

K est V intégrale complète,

K' est y intégrale complète complémentaire.

Ainsi les côtés du parallélogramme des périodes sont 4Ket iK'sT^i.

3° La fonction sno: passe deux fois pai- la même valeur dans le parallélogramme, et, d'après la discussion faite au paragraphe précédent,

Sn('2K — x) nrsnx.

4° La fonction snx s'annule en particulier deux fois dans chaque parallélogramme, et comme on a évidem-

ment sno=o, les zéros de snx sont donnés'par les formules o et 2K, ou, plus généralement,

AKm -f-2K'nv/— 1 ) „ ,,, ,

5** Cherchons les infinis de sno:. L'un d'eux sera donné par la formule

a = I — ou2«=l — >

Jo ^ J-oo ^

et l'on peut supposer que le contour d'intégration soit

rectiligne en laissant d'un môme côté de lui-même les

points critiques -+- i et H-y? et, de 1 autre cote, — i et

— -j mais un tel contour peut être remplacé par un

demi-cercle de rayon infini décrit sur lui-même comme diamètre, à la condition d'y adjoindre les deux lacets relatifs aux points critiques. Or le contour circulaire donne une intégrale nulle; on a donc

et, par suite,

Ainsi l'un des infinis de sno: est K' y/ — i, et, comme sn(2K — x) = snor, un autre infini sera 2R — Ky** — i. En général, les infinis de sno: seront

4 wR -+- ( 2 rt 4- I ) K' \/^ )

, . , ,^^, I \ ou 2K/w-+-(2« + i)R'v/— I.

( 57 ) 6° On a, comme il est facile de le voir,

snx = — sn( — ^).

7" snK'y/ — I étant infini, posons, dans l'équation

nous aurons

d'où nous concluons, z s'annulant avec t,

« = ±sn^ = itsD(— KV^ + 't) =±sn(KV^ + *)» et, par suile,

snfKV— » -H.r)=: ~^— »

Xsn.r

d'où l'on lire

sn K' V — I =00.

S" Enfin l'on a

8n{K) = i, sn(K + KV^) = y