SDR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES
La discussion faite au paragraphe précédent nous a révélé l'existence de fonctions monodromes et monogènes possédant deux périodes. Ces fonctions (et les fonctions elliptiques sont les plus simples d'entre elles) jouissent de proprie'tés communes qui peuvent en simplifier l'étude 5 nous commencerons par faire connaître ces propriétés.
Sans doute une bonne partie de la théorie des fonctions elliptiques pourrait être faîte, et même a été édifiée avant la découverte, toute récente, de ces pro-
( 58 ) priéiés; mais leur connaissance explique bien des luéthodes d'iiivesligation qui pourraient, sans cela, être regaidées comme des artifices de calcul heureux, mais peu propres à éclairer sur la méthode d'invention.
Théorïîme I. — // n'existe pas de fonction moîiodrome et monogène possédant deux périodes réelles et distinctes.
En effet, si la fonction y (x) possédait les deux périodes (0 et tJ, on aurait
/( jc H- w w 4- // cj ) =/{ j:),
m et n désignant deux entiers quelconques. Or, si w et cr sont commensurables, soit a leur plus grande commune mesure et
(ù= ka, or = lac.
Si l'on pose
ni/i -{- ni =r. I ,
cette équation aura toujours une solution, car k et / peuvent être censés premiers entre eux. On aura donc
mAo: -h nla. = a. ou wwH-/7CT = a,
par suite
a serait donc une période et w et cr seraient ses multiples. Si w et cj sont incommensurables, on pourra toujours satisfaire à la formule
où e est très-pelil. Il suffit, en effet, pour cela, de réduire - en fraction continue : soit- une réduite quel-
//,,,. . CJ
conque, —la réduite suivante; —sera compris entre ces q w
deux réîluîles dont la diflerence — ? tend vers zéro. On pourra donc poser
/?cT = w m-\-n - H-n — -. 1= w - L 1 77 J L
Or on peut, en supposant- irréductible (ce qui a lieu
pour les réduites d'une fraction continue), prendre mq ■+■ np'= i ; mais m et n sont le numérateur el le dénominateur de la réduite qui précède -; donc -7- <' i
et m w -h /in> se réduit a une quantité raoïndre que — »
c'est-à-dire aussi petite que l'on veut e. On aurait donc
/{x-\-t)=/[x) ou /(x-4-8)- /(a:)=ro, e étant aussi petit que l'on veut. La fonction
/{jT-he)— /(x) = o
admettrait donc une infinité de racifies s, 2e, 3e,... dans un espace fini du plan; l'intégrale
serait donc infinie, ce qui est absurde. Il est évident que deux périodes dont le rapport est réel ne peuvent pas coexister non plus. En elTet, soit /• le rapport des périodes ; on pourra poser
w = / CT,
Cl l'on aura
(Go)
ou
en désignant par F ( - j la fonction /(x) : x étant quelconque, on aurait
F(jr4-i)H-F(^}, F(j:H-r) = F(^),
et la fonction F aurait les périodes réelles i etr.
Théorème TI. — Une fonction monodrome, monogène et continue ne saurait avoir plus de deux pé~
rt
iodes.
En effet, soient «4- b\J — i, a'-\~ b' \J — i, a" ->r h" yj^^i trois périodes de la fonction /'(j:), s'il est possible. Je dis que l'on pourra toujours trouver trois entiers m, m', m", tels que l'on ait
a'" =z ma -h m'a' + m" a" -< s, b'" z=mb-h m' b' + m" 6" < e ,
e étant un nombre si petit que l'on voudra. En effet, considérons la quantité
a'" b" — h'" a" — m[ab" — ba") -|- m' [a'b" — b' a");
on pourra toujours, comme on Ta vu dans la démonstration du tbéoràme précédent, choisir ni et m' de telle sorte que a!" h" — b"'a" soit moindre qu'une quantité donnée, et même de telle sorte que l'on ait
,„ ,,„a" ab" — ba" , a' b" — b' a" ,
a"'-h"'-^, ou VI ^^,-+„/-^^ -^^,--^-<5,
c'est-à-dire, en valeur absolue,
a"'<^S+b"'"rTn
(6. ) mais m et m' ayanl été ainsi délerniinés, on pourra toujours choisir m" de telle sorte que l'on ait en valeur
absolue
mb , b' „ . i
ou -iji-^ 'n' -ri, + ni" <:,-', '^
cl, par conséquent,
On pourra Jonc, en vertu de (i), prendre
(a) désignant la valeur absolue de a\ ou, en définitive,
prendre rt'" < ^^ — ^« Or, de (2), on tire b'" <i- ; ainsi
on pourra prendre a!" et h'" moindres en valeur absolue que les demi-valeurs absolues de a" et b'". Cela étant, considérons les quantités
a''' = n' a' -^ n" a" + II'" a'" , b'^—n'b' -{- n" b" -h ri'" b'" ;
on pourra choisir les entiers «', ?i", n'" de telle sorte
que l'on ait en valeur absolue a'* <^ — 5 ^" <;^ — , On
pourra déterminer d'une façon analogue des nombres
a*<^ — » b" <Ci — jet ainsi de suite: mais a!", a'*, a7 , . . .
sont des fonctions linéaires à coefficients entiers de a, rt', af'', de même b'", ft", b", . . . sont des fonctions linéaires à coefficients entiers de è, b\ b" -^ ces fonctions linéaires vont en décroissant, au. moins aussi rapidement que les termes de la progression géométrique de
raison -\ donc elles peuvent être prises moindres que
toute quantité donnée.* c. q. f. d.
Si donc la fonction /(.r) admettait les trois périodes a-j-b)J — I, (i! -\-b' \J — I, a" -\-b" sj — i, elle admettrait une période a^'^ -\-b^''> \J — i de module aussi petit que l'on voudrait; /"(a:-f-e) — f[x) = o aurait donc une infinité de racines dans un espace limité, ce qui est absurde. 11 n'y aurait d'exception à celte conclusion que si l'un des nombres a, et son correspondant è, s'annulaient rigoureusement. -Mais alors, en appelant w, w', w", pour abréger, les trois périodes et en désignant par m, m\ ïu" trois entiers, on aurait
(i) mot -{- m'oi' -h m"ùi" = o.
Soient w', le plus grand commun diviseur de ni et m', et u, ^' les quotients de in et m' par m\ -, si l'on pose
on pourra toujours clioisir n et n' de telle sorte que le déterminant p-Ji' — WfJi' soit égala i pour des valeurs entières de n et «'; alors co et w' s'exprimeront en fonctions linéaires dew'i etWj, à coefficients entiers. On aura ensuite, au lieu de (i),
Divisant les deux membres de cette formule par le plus grand commun diviseur de m\ et de m", elle prend la
forme
et si l'on prend «, ^" —^ n"^'^ = i , ce qui est possible, et si l'on pose
«, Wj + « W = Wj,
oy[ et w" seront des multiples de w^. En résumé, w et w sont fonctions linéaires et à coefficients entiers de w', et de w,, c'est-à-dire déco, et de w,. Il en est de même
( 63 ) de w"; nos irois périodes se réduisent donc à deux de la forme pcw'j + q(£>\, p et q désignant des entiers.
THÉOnÈME DE M. HERMITE.
Théorème. — Lintégrale d'une fonction doublement pcfiodique prise le long d'un parallélogramme de périodes est nulle. "*
Ce théorème, ou plutôt celte remarque fondamentale, est due à M. Hermite : elle esl presque évidente. En effet, le long de deux côtés opposés, la fouction prend les mêmes valeurs, mais la difTérenlielle de la variable y prend des valeurs égales et de signes contraires; la somme des intégrales prises le long des côlés opposés est donc nulle, et il en est de même de l'intégrale totale.
PnEMiiiRE CONSÉQUENCE. — Une fonction doublement périodique s'annule au moins une fois et devient infinie au moins une fois dans chaque parallélogramme des périodes, car sans quoi elle ne deviendrait jamais ni nulle ni infinie; mais le théorème de M. Heimite nous apprend que dans chaque parallélogramme il y a au moins deux infinis et deux zéros.
En effet, si dans un parallélogramme il n'y avait qu'un infini, l'intégrale prise le long du parallélogramme serait égale au résidu relatif à cet infini multiplié par •i'nyj — i. Or ce résidu ne saurait être nul; donc il ne saurait y avoir un seul infini dans le parallélogramme : il ne saurait non plus y avoir un seul zéro, caria fonction inverse n'aurait qu'un seul infini.
Deuxième coNSÉQurNCE. — Dans chaque parallélogramme, il y a. autant de zéros que dUnfinis,
En effet, soit J {z) une fonction à deux périodes,
-~4 aura les mêmes périodes; en J intégrant
le long d'un parallélogramme, on doit trouver zéro, ou la différence entre le nombre des zéros et des iniinis de f {z) : celle différence est donc nulle.
Troisième cojjséquekce. — En intégrant
le long du parallélogramme des périodes, et en appelant w et CT les périodes, on trouve la différence entre la somme des zéros et celle des infinis contenus dans ce parallélogramme; elle est
La première intégrale est prise le long delà période cr, et la seconde le long de la période w, en effectuant, on a
/(s + ct) /(z-I-w)"]
27ri/— I L /(2j
ou
■ [cilog 1 — w log i]= mcj ■+■ «w;
27ry/
cette quantité est une période.
Quatrième conséquence. — Une fonction doublement périodique, qui admet n infinis j ou, ce qui retient au même, n zéros dans un parallélogramme de périodes, passe aussi n fois par la même valeur a à V intérieur de ce parallélogramme.
En effet, soil f[x) une telle fonction, /(j:) — a aura aussi n infinis et, par suite, n zéros; àoncf[x) passe n fois par la valeur a.
Une fonction doublement périodique qui possède
n infinis dans un parallélogramme élémenlaire est dite d'ordre n.
La somme des valeurs de la variable ar, pour lesquelles/(j:) prend la même valeur, est constante à des muliiples des périodes près; en eirct, d'après ce que l'on a vu (troisième conséquence), /(z) — a est nul pour n valeurs de z qui, à un multiple des périodes près, ont une somme égale à celle des infinis dej^[x).
11 n'y a pas de fonctions du premier ordre, puisque toute fonction à deux périodes a au moins deux infinis dans chaque parallélogramme élémentaire, et les fonctions doublement périodiques les plus simples sont au moins du second ordre. •
Nous allons maintenant essayer d'établir directement rexlstence des fonctions monodromes, monogcnes, continues et doublement périodiques.
IVEMAnQUES RELATIVES AUX PRODUITS INFINIS.
Nous allons bientôt avoir à considérer des produits de la forme
et il est bon de montrer dès à présent que la valeur du produit en question dépend de la maniôre dont on l'effectue, c'est-à-dire, en définitive, de l'ordre des facteurs. Considérons, en effet, m et n comme les coordonnées d'un point, et faisons le produit de tous les facteurs corresj)ondant à des valeurs de m et n intérieures à une courbe C, et de tous les facteurs correspondant à des valeurs de m et n intérieures à une courbe Cf Soient P, L. Fouet, ellipt. 5
et P, les pioduils, on aura
a -{- niu ■+■ nu>
m ei n désignani les valeurs enlièies eomprises entre les (Kux contours Cj et Cj. On en tire
logP,— loirP,
= Ilogfn- \
■AiJ a -h ru oi -+■ n <ù 2 ^-* \ r/ -4- /// w -H « w
On voit que logPj — logPa peut être infini; mais il peut aussi être fini : c'est ce qui arrivera quand
> sera fini. C'est ce qui arrivera encore
lorsque, \ > étant nul, parce crue les deux
contours ont pour centre l'origine, >- ' ,-
■^ ° ^ ^^ [a -i- niM -+- tiM y
ne sera pas nul : ce cas remarquable a été examiné par M, Cayley. En désignant par A la valeur de cette somme, on aura, en négligeant des termes infiniment petits,
logP.- }ogP5 = __, et, par suite,
L'ordre dans lequel on effectue le produit, même en prenant autant de termes positifs que de termes négatifs dans chaque produit partiel, peut influer svir le résultat
hJ^ en introduisant une exponentielle de la forme e ;
(6;) c'est ce qui nous permettra d'expliquer un paradoxe que nous rencontrerons plus loin.
