SUR LES FONCTIONS AUXILIAIRES DE JACOBI

Essayons maintenant de former directement une fonction monodrome et monogène admettant les périodes 4K. et aK'y — I de sn x. Si l'on observe que l'on a

ou

sin X = lim TT ( i — 1 pour n =-x> ,

en supposant i remplacé par x, on sera tenté de

rrf. ^ — \

OîT

poser

snx =

Al| 2Kv«-h(2«+i)KV— ij

eu remplaçant i par a:, ou tout au

^ 2Ko-f-2K'o y/— I

moins y aura-t-il lieu de se demander si le second membre de celte formule ne serait pas doublement périodique. On voit d'ailleurs que ce second membre a été formé de manière à s'annuler et à devenir infini en même temps que hwx. Malheureusement, d'après ce que l'on a vu au paragraphe précédent, les deux termes du quotient que nous considérons sont divergents, et ce quotient n'est pas bien déterminé- auoi qu'il en soit, en groupant conve-

( ^>8 ) nablemem les termes, on peut obtenir une fonction bien définie qu'il convient d'étudier.

Considérons, en particulier, le produit

Tl( ^--^A

où

V 2Ko-|-?.K'ov/— 1/

doit être remplacé par x.

En faisant d'aboid varier m seul, il devient

>.K.'n^—i — x j-rf 2K^« y/— i A 2R'«v'^^ï ^ ^^^'" /