V- 2lO» j

ou, eu observant que x TT ( i — — | est égal à - sin nx^

sin TT

nx

Quand n = o, il faut remplacer ce produit par sin — j et le produit chercbé peut s'écrire

. 7r.r SIU

-n ~~~SK - »K 1

nu posant,pourabréger,^ = e . On peulencore écrire

(69) ce produit ainsi :

aK ^ SK I f — ?*'« /

ou, en groupant les termes correspondant à des valeurs de n égales, ruais de signes contraires,

TT.r 1 — 2 r/'" cos — — -f- q*"

^■) ^'" R n — [T^^Tn- —

En traitant le second produit ou le dénominateur de snar comme on a traité le premier, on le trouve successivcnu'iil égal à

sm ïf

ou

. (Tt/î -H i]KV— I SI n ^ -^ ïT

I 2 «7'"+' cos ^ -+- 7»('"+') K.

Les deux résultats auxquels nous venons de parvenir sont d'ailleurs convergents si, ce que l'on peut toujours supposer, le module de q est moindre que l'unité, c'est-à-

K' dire si la partie réelle de— est positive.

La méthode même que nous avons suivie pour former le numérateur et le dénominateur de snx montre que ces termes ont des valeurs qui dépendent de l'ordre de leurs facteurs-, et, en effet, si nous considérons, par exemple, le dénominateur qui, à un facteur constant près, est

ç(*)= TT I — 27'"+' cos — -h 7»("'+0 ,

( 70) il a manifestemenl la période 4K''que possédait snx, mais il n'a pas la période a/K' qu'il aurait eue en laissant d'abojd m constant pour faire varier n\ et il n'a certainement pas la période 21K', sans quoi il serait doublement périodique sans devenir infini. Quoi qu'il en soit, il est curieux de rechercher ce que devient la fonction o [x) quand on change x en x -\- aK'^ — i; on a

COSTT —

r + îK

■KX .-

-ir-v-

— qi"-

ou, si r

on veut,

y(.r-f- 2KV— 0 =

c'est-à-dire

Le numérateur de la valeur de sn x, que nous représenterons par 0(a:), satisfait, comme on peut le vérifier, à la même équation ; dès lors il est facile de voir que la fonc-

tion aetinie par le rapport -~ — ^ admet non-seulement la

période 4K. commune à 6 et à cp, mais aussi la période aK'y/ — i. En effet, de la formule (A) et de

KV—i r 1 \

on déduit

0 f.r -4- ciKV— l) 0(:>:)

Il resterait a prouver en toute njrueur que sn x = —, — ; ', e'est ce qui serait évident, si l'on pouvait admettre que

— — - représente une fonction continue, monodrome et

raonoîïène. En effet, sn.r et ayant les mêmes zéros

cl les mômes infînis seraient égaux à un facteur constant

près, qu'il serait facile après cela de calculer. Nous ne

lardeions pas à prouver que l'on a bien à un facteur coii-

0f.rl . , , . ,,

stant près snjr ==-—:•, lusqu alors nous considérerons

ce fait comme très-probable.

Les fonctions telles (jue 0 et o sont ce que nous appellerons ài's fonctions elliptiques auxiliaires.