CONSIDÉRATIONS NOUVELLES SUR LES FONCTIONS AUXILIAIRES DE 3ACOBI
Nous voilà conduits à étudier les fondions auxiliaires évidemment plus simples que les fonctions doublement périodiques qu'elles engendrent*, mais, sous forme de produit, elles paraissent peu maniables, et nous allons essayer de les développer en série.
En définitive, il est à peu près établi que snx (et l'on verrait de même que eux, dnx) peut être considéré comme quotient de deux fonctions admettant l'une ses zéros, l'autre ses infinis. Ces fonctions n'ont ([u'une période, mais elles se reproduisent, à un facteur commun près, quand on augmente leur variable d'une quantité
convenablement choisie et qui sera une seconde période de leur quotient.
Désignons alors par Q{x) une fonction possédant la période co, et développable par. la formule de Fouricr
lit , — v-i
suivant les puissances de e" , partageons le plan en })arallélogramnies de côtés o) et cr, et pioposons-nous de laire en sorte que dans chaque parallélogramme la fonction Q possède p. zéros.
Le nombre |ui de ces zéros devra être égal à l'inté-
grale de —j — -S prise le long du penmelre d un
parallélogramme, et cela quel que soit le point que l'on prendra pour sommet, si l'on veut que les zéros soient régulièrement distribués dans le plan. Or la valeur que prend notre intégrale le long des côtés parallèles à CJ est nulle, puisque la fonction, admettant la période w, prend des valeurs égales sur ces côtés, tandis que dx y prend des valeurs égales et de signes contraires. On devra donc avoir, en intégrant seulement le long des deux autres côtés,
et cela quel que soit.rj cette équation détermine ô. On peut poser
^ , Q'(x) 0'i.T + vj]
^ ' 0[x] ©(x + ct) ^ '
et déterminer les coefficients indéterminés a, |3, y, . . .
par réquation (i); celte équation n'en détermine qu'un
seul, et nous supposerons alors, pour simplifier, |3 = o,
y = o, . . . . La formule (i) donne alors
I /*«-»-« ^ a« 1*= • I aax = :i
(7M (I ou
et, en remplaçant a, (3, 7,... par leurs valeurs dans l'équation (2), on a
6'(x) ,fi'(.r-l-BT) 2 7rjx^— I A
G{.r) Q{a:-hzj)~ w
ou, en intégrant,
e(x) 27rpv/:^ ■ '°Sq(^^^^- „ i^ + <^j,
c désignant une constante. On en déduit
Ainsi il suffira d'assujettir ia fonction 9 [x] aux conditions
(3) ' tryz-i ,
pour obtenir une fonction telle que nous la désirons. La première formule est satisfaite en posant
ou
(4) Q{.r) = ie^'"'^''"'\
jSous allons déterminer (f{n) de manière à satisfaire à la seconde condition (3); on a
0(ar H- o) =Zff *•
((/H-H)r + T(n-»-n) + f{n) — T(n+it) — M + "■!
SI l'on pose alors
(5) ff{ri) —f'n -\- y.) -]- nu =z— en,
et les formules (3) auront lieu. L'équation aux dilTérences (5) ne détermine pas complètement ^(x) : elle laisse arbitraires <p(i), 9(2), . • ., 9(1^). En appelant (ç(/n) une de ces quantités, on a
(p (m -4- f* ) =z 9 (m) H- c pi + /?; CT,
<j) 'w -+- 2 p.) = cp [m -h [t.) -{- c {i ■+- {m -4- p) cr.
ep (m H- /p) = <f[m -i- i — i fx) + cf* -+- [m -\- i — i p) o, d'où l'on tire
(f[m + /p.) = (i[ni'j + /fjtc + x3-['2.m — /f* — p),
et 0(.r) prend la forme suivante, en remplaçant ç{w) dans (4) par sa valeur
où Ton a posé
Donc :
i** Les fonctions monodromes et monogènes satis-
faisant aux formules
sont fonctions linéaires et homogènes de fx d'enirc (Iles ;
2" Ces fonctions existent réellement, car la série (6)
