CT

est convergente si la partie imaginaire de — est posi-

tii'e, ce que l'on peut toujours supposer. En effet ^ alors lu racine i'''"' du i""" terme de la série (6) tend vers zéro ;

3° Ces fonctions ont a zéros dans le parallélogramme des périodes co, cj.

Enfin le quotient de deux quelconques de ces fonctions a évidemment les périodes w et cj, ce qui prouve, a fortiori^ l'existence des fonctions à deux périodes arbiti aires et à /:jt zéros ou du /m'*""* ordre,

DKS F0>CTI0NS DU PREMIER ORDRE.

Nous dirons (ju'une fonction elliptique auxiliaire est d'ordre [x quand elle aura jut zéros dans son parallélogramme des périodes. Les fonctions du premier ordre satisfont aux équations

et, b désignant l'une d'elles, les autres seront égales à ô, à un facteur constant près. On pourra al^rs poser

( 7^> ) Nous retrouverons celte fonction plus loin. Observons toutefois qu'elle n'engendrera pas de fonctions aux périodes simultanées w et u; mais il faut remarquer que, si la fonction en question est du premier ordre par rapport aux périodes œ et cî, elle sera du second ordre si l'on prend pour périodes w et atj ou 2W et u : c'est pour cela que, devant la rencontrer de nouveau dans tous les ordres, nous ne nous en occuperons pas ici.