DES FONCTIONS DU SECOND ORDRE

Les fonctions du second ordre satisfont aux équations

iÔ(.r -4- w) =e[x)y B[x -h Tj ] = Q[x]e

Elles sont au nombre de deux distinctes 6^ et 0,, la solution la plus générale étant Ao^o-f-Ai^i, A, et A, désignant deux constantes arbitraires. On a d'ailleurs

iicV-l , . ...

- [iix + iic + t-a — ta]

^'^ -[(SiH-l)jr +-îir+-i»«»]

Les fonctions qui servent de numérateur et de dénominateur à sn j: sont du second ordre par rapport aux périodes 2K'\/ — I et 4K.. En eilet, ces fonctions satisfont aux relations

(4) j , , .— . , ^ iy zi(x+Kv/=ï)

(77) Or la seconde de ces relations peut s'écrire

Ces formules coïncideront donc avec (i), en posant

w = 4K, o=:2KV^Î^, c = R + KV— ^» le numérateur et le dénominateur de snx seront donc de la forme Ao0o(-a^)-t- AjO, (r), et l'on aura

\ . , \ V ~ir^K«'-+-l)' + ïiK-»-2iK'v'^(i-l-l)l

Groupons les termes correspondant à des valeurs de

i égales et de signes contraires, et posons toujours

51 q-=e ' "^ , nous aurons

71 jc 'i, *r iir G,(x) = I — 2<7"cos— --f- 2 7" ces —^ h . . .

+ (— lV2ç"C0s'-^-f-...,

0, (ar) = V— M 27'sm — — — 2ry'('-+-')sin -f- . • .

... . (2/ -4- l]ir.r \

Jacobi désigne la foncfion (?o par ©(•^■); quant à la

fonction 01, nous la remplacerons par— = Ot, ce qui lui

V — I donne plus de symétrie, et nous la représenterons encore, avec Jacobi, par H(j:); nous aurons alors

TTjr , Hkx , .. , iitx

ef.r = I — 27COS— -4- 27*COS— ^ h. . . -f- (— I)'27"C0S-— - . ,

4 . 7r.r A. Sttx ^ (li±ll' . (a/H-Off* H(x)=7Sin — -7*sm-^+...±:7 * sm ^ ^^"^

( -H) Du reste, les fonctions les plus générales satisfaisant aux formules (4) sont de la forme A0(j:) H- BH(x). Aux fonctions 0 et H on adjoint aujourd'hui les fonctions Q[x-\- K), que Ton désigne par &i[x), et H(j:-f-K), que l'on désigne par IIi(a:). Si, dans les formules (5), on remplace x par x-\-K., on trouve alors

Ç)J x] =■ I +27 cos —- h ?. 7* cos h . . . ,

, . - TtX — ÔTtX

11, X =: 2*7* cos — — -+- 27*C()S — — -f- . . . . ^ ' 2K ' 2K

Il existe entre les fonctions H et 0 une relation re-

marquable : quand on change x en x -\- ¥J \j — i , 0 de-

Vient égal a y/ — vn.[x)e *'^ , ce que 1 ou vé-

rifie sans peine en remplaçant x par jr + K'y/ — i dans 0(j:) ou, ce qui revient au même, dans son égal 0o(j?) exprimé par la formule (5).

Voici le détail du calcul :

, , ^ '^ — — i'six + SjK + Si'KV — 1)

^-, - — j^[iSi-l-l)jr + î,K+îi(i + l)K'V"^I

= v — le *"■ H(.rj.

On vérifiera facilement, d'une manière analogue, les formules non démontrées, que nous résumons dans le tableau suivant :

TABLEAU n" 1.

, , Tza: , 2r.r 3tzj:

0 (.r) =1 — 27005-— + 27*COS-- 27VOS -rip h

^ K. K. -Iv

0, .r = I -4- 2710s — - -1- 2 7<cos— |-27*cos-:i^^ 1-