K. K. XV

i . TTX { . 3TV.r '.-^ . Sttjt

M x) = 27«sin— -2^; sin-^ + 27 sm— --.

H,(x)= 27*COS-;7 + 27*COS— iTr-+ 27 COS— jv- 2 K. 2 IV. 2 IV

1 0 (x + K)=0,{.r), H (jc + K) =B. (x), ^"^^ I 0,(x+K) = 0 (x); H,(x + K)=-H(j:). . 0 (a--+-2K)=:0 (^], H (a:-h2K)=— H (x).

0. (x 4- 2K) = 0, [x] ; H.(x 4- 2R) = — FI, (x) , [4] 4^ *st une période de 0, 0,, H, II,.

0 (x + 2KV— ')==— ®(-^}^ "^

—— — (x+rV— 0

ill(x-^iK'sl—\) = -ï\{x)e^

\ U.(x + 2KV-'^) = H,(x]r^^'"''''''\ • / —

/ . I \ / , , — : \Sx + K'V— 1)

@{x-A-}L' sj-i) = \l-iïi[x]c *'^ 1 0.(x + K'v/-O = H.''-^'' *''

^0(x) = 0(x), II(-x) = -H(^], L'J ( 0,[x) = 0,(x), II.(-x) = H(x).

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS 0, ©i, II, Hi = O.

On a évidemment

et, en vertu des formules [3] du tableau n° 1. comme (^n a aussi

H [x) n'ayant que deux zéros dans le parallélogramme des périodes 4 K et 2 K' ^ — i, les zéros seront de la forme suivante :

4/K. + 2/ K' y/ITT et ( 4y -i- 2 ) K + 2/ K'y'"^,

ou, si l'on veut,

(H) ayK + s/K'v/"^^.

/ ety désignant deux entiers. Mais, d'après [2], H, (.r) est égal à H (x-f-K); donc H|(a: + K) est nul quand X est de la forme précédente*, donc enfin les zéros dt- II, sont de la forme

(H.) (2y + i)K + 2/KV^=^;.

enfin, en vertu de [6], les zéros de 0 sont ceux de H augmentés de K' \/ — 1^ ils sont compris dans la formule

ceux de 0i sont compris, en vertu des mêmes formules [6], dans celle-ci :

Zéros de e[x).. . 27 K + ( 2/ -+- i ] K' y'^ , , (leH(.r)... 2yR-h2/K'v/^,

^ M de 0, (.r)... j27 + i)KH-(2/-t-i)K'v/~,

( deH,(j:).. (27 + i)K + 2/K'v/^.

NOUVELLES DÉFINITIONS DES FONCTIONS 0, H, ©j, FIi.

Les fonctions 0^, Hi, 0, H satisfont aux formules

\ Q^\x + 'iYJ\J—i)=Qy[x)e ^ ,

( H,(x -f- 2K y/— ij = H,(x)e '^

( H {x-{-9.iCs/—i)=—a\

Si l'on ajoute que ces quatre fonctions sont synecliques et, par suite, développables en séries d'exponentielles, elles seront déterminées à un facteur constant près par ces quatre formules. Ce fait est déjà établi à l'égard de la fonction 0ij nous allons le prouver pour les autres fonctions.

Lorsque l'on a

cl que la fonction B{x) est syneclique, ces équations L. Fond, ellipt. 6

( 8. ) imposent à la fonction Q la forme

Au0.(.r)-t- A,9,(jr)+ . .. -h A.^.,0^^{x],

où Ao, A,, ..., A,j^i sont des constantes et où 9^, 0,, ... désignent des solutions de (5). Si donc on fait |:z= 2, w = 4K, tj = aK'y/ — I, c = K'y/ — 1, on aura

elO[x) sera de la forme Aq^o + Ai^i. Or les deux fonctions ©i (x) et H, (jr) satisfont à ces deux équations ^ leur solution générale sera donc

Ao0,(^) -f-A,H,(x).

Si l'on ajoute que d{x) s'annule pour une valeur donnée K + ¥J \J — i, il faudra que Ai = o, et la fonction 6 sera définie à un facteur près.

Ainsi les fonctions ©j, Hi^ ©, H sont définies par leurs zéros et par les formules telles que (6), que l'on peut déduire de (i), (2), (3), (4)', mais elles ne sont définies qu'à un facteur constant près (on reconnaît dans H et © les valeurs qui figuraient en numérateur et en dénominateur dans sna:).