SUR UNE FORMULE DE CAUCHY. NOUVELLES EXPRESSIONS
DE ©, H, ©1, Hj EN PRODUITS.
Posons
F(z) = (n-^z)(l-+-y3-')(l -hq'z)[l -Hy's-').. .
Nous aurons évidemment
^^ ' ^ ^ l + qz I -hq^+'Z-^
(83 ) c'est-à-diie
(2) ¥[gH){qz-^-q''+') = F(z)(i4-9»»+3z).
Celte équation constitue une propriété de la fonction F (z) qui va nous servir à la développer. F (^) est de la lorme
F(z)=:Ao + A,(z+z-')
Remplaçons dans ( 2) F { 2 ) par cette valeur, nous aurons
[A, -h A,(7'z + 7~'2~') ■+-■■■+ A„(7"'z'' H- q-'" z-'>]]{f,z + 7"- = [A,4-A, (z-4-z-')-t- ... -+-A„(z''-Hz-")](H-7'"-^»z),
et, en égalant de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de 2,
A«7 -+-A,7»''+< = Ao9"'-*» + A,, A, 7» + A,7-"+« = A, 7'"+* 4- A' ,
ou bien
A„,(7'"-' — 7-"+') = A„( I - q*"-*-'). Or on connaît A„; il est égal à
^7»7» . • • 7""*'' = 7'+»+- •+•(">+'), et l'on lire des formules précédentes
fi — <7'"'^«)(l — 7'"+*).., (i — 7<''+')
Supposons 7 <C ï î alors pour n = ao on aura
et, par suite, en égalant les valeurs (i) et (3) de F(c),
(l -^qz)[l-\-qZ-')[l -f-7'z)(l-h<7'2-') ...
Telle est la formule de Caucliy, quand on y fait z = e "^ , et quand on observe qu'alors
(i 4- q'^"+^z) (i H- <7"'-+-'z-') = I 4- 27"'+'cos^ + 7*"-^^
7r'ji.r z'''- -\- Z~V- = 2 CCS --— !
elle donne
(l + 27COS — ^ + q^) (l -f- 27'cos-— 4- <7«). . . K. K.
iH- 2 7 cos —- + 29' cos — f- . . .
Si donc on désigne par c le produit
on aura
0, [x) = c{l -h 2qC0S ■— + <7') (l -+- 27' COS -^j- -h q^) . . . .
En cliangeant dans cette formule a: en x+K, en X -\-K' ^ — 1 et en X -t- K H- K\/ — i , on forme le tableau suivant :
e {x) = c(i — 27COS ^'-4- 7M (i — a'y'cos^ -i- q^y--
•'- TTX ( TiX \
H, {x) i=:C2ryV-0S-— ( I + 2ç'C03— + ^M
X ( H-27«cos— 4- 9'
— TTX / TTJT \
H (x) == c2<7*cos -— I X — 27'cos -:^-\rq''\ ■ 2 K.- \ iv /
X { I — 25r<cos -^ + 7* )
RELATIONS ALGÉBRIQUES ENTKE 0, H, ©j, Hj.
Considérons les fonctions 0% H', 0', H' ; elles satisfont toutes les quatre aux relations
e(ar + 2K) — S(x),
donc deux des quatre fonctions en question sont des fonctions linéaires et homogènes des deux autres. Posons alors
©'(x) = AH'(x) + A,HÎ(x);
on en conclura, pour j: = o et a: = K,
0»(o) = A,HÎ(o), 0»(K) = AH»(K).
D'ailleurs
IIÎ(o)=IP(K);
( 86 ) on en déduit A et A,, et la formule précédente donne
ce que l'on peut aussi écrire
On trouve de même
mais [formules (6)]
©(K + K^y/^) H(K) H.fo) HiK + KV^J "~ 0(K) ~ 0.(0)' donc
(,) 0.H = H.w5LW+ei(x)«'"''
