RELATIONS DIFFÉRENTIELLES ENTRE LES FONCTIONS AUXILIAIRES

Posons

on aura -

^^ rf^"" 0^(x)

Or, en différentiant les formules [5], on a

0'(ar+ 2K'\/— 1)=:— 0'(ar)e "^

l^£ï(;r+K'v/=l)7r\/^ ■he[x)e •»■ — - — ■

( 8- ) Or les deux fonctions H(j:) et ©(x) possèdent la période 4K; i) en est donc de même de li'{x)Q{x) — 0'(x)H(ar), et, quand on y change x en x -+- sK'y/ — i, en vertu de (a), celle fonction devient

[©(x) H'(.r) - H(x) 0'(x)]r "k ^ (-+KY-i)^

t'ii d'autres termes, elle s'est trouvée multipliée par

Or les fonctions S{^x)H[x) et 0,(ar)Hi(a:) sont dans ce cas; on doit donc poser

ou, en divisant par 0* et en tenant compte de (i),

dj H(x) 0.(^)H,(x)

— — :::: A ; -t- li — r— , — , — ,- •

dx e[x) e[.Tj e[x] Mais, si, dans (3), on change x en — x, on a

H'(x) 0(x) — H(x) 0'{x) =— A0(x) H(x) + B0,(x) H. (x), et, en comparant celte formule avec (3), on a A = o;

donc

dx 0 0

Si, dans (3), on fait a: = o, on a

Tirant B de là, la formule précédente donne

dr H'(o)e{o) 0,(x)H,(x)

dx e.(o)H,(o) e»(x)

Entre celte formule et les formules (i) et (a) du paragraphe précédent, éliminons &i{x) et Hi(x); nous

(88 ) aurons

'irMo)r 0>) -ir H^ço) 1

Cette équation serait identique à celle qui nous a servi primitivement à définir le sinus de Tamplitude x, si l'on supposait

0,(o)ir(o)

Hi(o) 0(o) H?fo]

et l'on aurait

\"^^j =(i-sn'.r)(i-/['sn'x).

On a donc bien

h(.r) 0,fo) snj; z= — ; — - — ■ — )

et il est nettement établi que la fonction snj: est monodrome, puisqu'on peut la former de toutes pièces en la considérant comme le quotient de deux fonctions monodr ornes.

Maintenant reprenons les formules (i) et (2) du paragraphe précédent; on peut les écrire, en divisant par

— H'(^) Q(o) H^(.r) 0^(0) ^"~0=(.r) HJ(o) "*" &[x) Uf(o)'

La première, en vertu de (5), sera satisfaite en posant

= cosamx = enj:,

( 89 ) et la dernière donnera

e\x) &]{o) ou bien

e[x) 0,{o) " \L\\e donnera aussi, pour x = K,-

ou bien

0î(o) ©Uo)'

Le premier terme du second membre est A', le second est donc la quantité désignée plus haut par /c'*^ k' est ce que nous avons appelé le module complémentaire. On a donc le tableau suivant :

snj:= -rr — r—r»

dn.r = \JA' —f-f >

0J(o)~H'»(o)' 0Î(o)' /i-'""0'io)

Il II ^ > )^

fc4

Il " fcij ^

Il ^ ^

iT 1 +

I i4 Ui

^ ui

PS es

RELATIONS ENTRE SIIX, CTIX ET dna?.

A la fonction sn jr, définie par l'équation

loiis avons adjoint les fonctions

( on X = f rrr y/ 1 — «%

[ dn .r = a- = \/ 1 — X-'«'

La formule (i) pourra alors s'écrire

du ,

— = cnjrdnj; = viv.

Des formules (2) on déduira

dv di'

u du

//il',

^ , „' dx

dulue ■

/•' « du

Pvu

Ainsi -on a

dsnx ,

= cnx dna:,

d cnx ,

= — (Inxsnx,

ddnx

, — = — X'snxcnx.

Maintenant, si Ton observe que

(92) le3,formules (3) pourront s'écrire

— = -sJ[i-v')[k''-\-k'u^),

Rien n'est plus simples, en partant des formules (3), que de former les équations auxquelles satisferaient tangamar, cotamo:, .... On formera ainsi le tableau suivant :

TABLEAU N° 5. dsux

= cnxdox.

ri5| < — -, — = — anxsnx,

dx dànx

\ dx

fi'^snxcnx.

Fonctions. Leur équation dilTérentielle.

du r :

« = snx, — -= ^/(i — tt^jf , — /^m'),

du ,- r--,

« = dnj:, — - = — \J[\ — u^j[U' — A 'j,

du — — --

« = tangamx, — = y/(i + «^](i -f- A- ^a^J,

u = cotamj;, — z= — y'(i -t- u'].[â-"'-t- «'),

« = secanio:.

« = cosécamx, —*=z\J[u'^ — 0("* — ^*)'

dnj? ""C

(93) Ce dernier tableau est utile pour la réduction de l'intégrale

r du

J \l[u^-\- m)[u'-{-n] aux fonctions elliptiques.

FORMULES d'addition.

Considérons maintenant le produit

H(x + a)H(x — rt) = 0(a:); on a (tableau n** i) .

Ô{xH-2K)=0(.r),

Les ionctions H' et 0' satisfont à la même équation i

donc

H(x + a)H(x — a] = kW[x) +B0»(x).

Pour déterminer H et B, on fera x = o \ on aura alors

— H»(a)=:B0'(o). On fera ensuite x = K' \J — i ; on aura alors

On a donc