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et, par suite,

On obtient de la même façon une foule d'autres formules, que uous résumons dans le tableau ci- après.

TABLEAU n° G.

Hfx]0(x)-."i^!®^"lH.(x)e.(x),

[17] / H(.r-«)H,(.r + fl)

0((rt)0(«) „, v„ , , H aj0 a) , ,

II (x — a) e,[x -+- a

0f.r — « 0 Lr + a =

0 (ar — a) H (.r + a)

H.(a)0.(a)H(^)0(x)+H(fl)0(a)H.(j)0.(jr)

0(x — fl)H|(x + «)

0(fl) 0,(a) Hfjc) H,(x) — H(a)0(a) 0(^) 0,(x) ~ 0(0)0,(0) '

__ H,(a)0(fl)H(x)0,(x) — H(«)0,(rt)0(ar)H,(x) ~ 0(o]H.(oj

En combinant ces formules par voie de division, et en ayant égard aux formules du tableau n° 4, on trouve, par exemple, en divisant la première [17] par la seconde [17],

sn'x — sn^a

sn(x + a) =

snxcna dna — snrtcnxdnj;'

(93 ) et, en multipliant haut et bas par

sdj: cna lina + sna cno: dnjr,

sna: cnadna -\- sna cnx dnx

sn Lx-i-a]z= — ;

c'est par ce moyen que l'on formera le tableau suivant

TABLF.AD N° 7.

, , ,. snacnbârtb zhsnùcnadna

sn [a±b]= y- — ; rr >

^ ' I — A-'sn'tf sn'o

r T / , , ,v cnacnh zç:: snasnbdnodnh [igj < cn(a± oj = —

dn[a±b)

I — A-^sn'rtsn'é (In^dn b zc X'snasn ècnacnô

I — k^sn^asa'b Pour a = 6 :

19.snacnadna sn2«= — - — 5 I — A-^snvi cn'rt — sn'<7«ln'a L^" \ en ia = jj — j

dn2« =

I — /i^sn'a

dn'rt — A'sn'acn'a I — A'sn'a

sn(a + ^) +- sn(a — ^) = Gsnacnô dnô,

sn (a 4- 6) — sn (rt — ^) = Gsn 6 en a da«,

cn(rt ■+ b) -^- cn[a — f>] = Gcnncnè,

en (a -h b) — en (a — b) = — Gsna snédoadn^,

dn(a -{- b) + dn[a — b) = Gdnadné,

dn(a -\- b] — dn(a — b) = — G^'snasnècnacnè.

On a posé

I— A'sn*asn'6

Les formules d'addition [19J sont les premières que Ton ait trouvées sur les fonctions directes. Elles sont analogues aux formules fondamentales de la Trigonométrie 5 mais ce n'est pas comme nous venons de le montrer qu'elles ont été trouvées.

C'est en intégrant l'équation

d.T dr

sj\i—x-][l~k\r^) v/(l— J')('->^'J')

que l'on est arrivé à la découverte des formules d'addition. La méthode la plus simple qui ait été donnée pour l'intégration de celle formule est due à Lagrange. D'autres méthodes, plus simples en apparence, ont l'inconvénient de s'appuyer sur des artifices qui supposent évidemment que l'on connaît d'avance l'intégrale.

AUTRE MA.NIÎ;RE POUR ARRIVER AUX FORMULES d'aDDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

L'équation

dx dy

sj[i — x^){i—k^x-') sj[i—y')[i—/i^r'] qui devient, par les substitutions x = sin(p,^==: sin^j^,

, , do d'if '

admet pour intégrale

/•^ dx r^ dy

I — I -, ■■ =:rronst.;

Jo y/{i-x'){i-A'-x^) Jo \/{i — r]{i—^-'j')

mais on peut lui trouver, comme l'ont prouvé Euler et Lagrange, une intégrale algébrique. Posons, à cet effet,

(97 ) avec Lagrange,

= dt

puis

on aura

ifê-'^^ = ^/-*-i-^''

sin^^^l^;

d'où

d'où l'on lire

dt dt L

i^:^sin«(^jllij

ou enfin

(6) -^ -^ = -A'sin/?sin7.

Mais, en diflerenliant (3), on a

—r- = — ==T-é==^ -7^ := — A'Sinq»COS<p, dt' ^,/'sin> ''' ^ ^

— -- =: — /^ sin^l'cosi)':